Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.34. Квадратные уравнения

Еще за 2000 лет до н. э. вавилоняне могли решать пары системы уравнений вида

которые эквивалентны квадратным уравнениям

Исходная пара решалась методом, который давал два корня квадратного уравнения:

когда оба были положительными (вавилоняне не признавали отрицательных чисел). Метод состоял из следующих шагов:

1) Составить

2) Составить

3) Составить

4) Составить

5) Найти х,у проверкой значений в 1), 4).

[Что касается реального примера, см. Бойер (1968), с. 34]. Конечно, эти шаги не выражались в символах, а применялись только к конкретным числам. Тем не менее, общий метод подразумевается во многих решенных частных случаях.

В явном виде общий метод, выраженный как формула словами, дан Брахмагуптой (628):

К абсолютному числу, умноженному четырежды на [коэффициент] квадрата, добавьте [коэффициент] среднего члена; квадратный корень того же самого, меньше [коэффициента] среднего члена, деленный дважды на [коэффициент] квадрата, есть значение.

[Коулбрук (1817), с. 346]

Это решение

уравнения

тем не менее, интересно, понимал ли его Брахмагупта именно таким образом, когда через несколько строк он дает еще одно правило, которое тривиально эквивалентно первому, когда выражено в наших обозначениях:

Методы вавилонян и Брахмагупты, несомненно, дают правильные решения, но их основа не ясна. Значение квадратных корней, например, не исследовалось так, как это делали греки. Строгую основу решения квадратных уравнений можно найти в Началах Евклида, Книга VI. Теорему 28 можно интерпретировать как решение общего квадратного уравнения в случае, где имеется положительный корень, как объясняет Хит (1925), т. 2, с. 263. Однако, алгебраическая интерпретация далека от очевидной, даже когда сужаешь теорему, которая о параллелограммах, до теоремы о прямоугольниках. Представляется маловероятным, что Евклид знал алгебру, или, что он выразил бы ее гораздо более простой геометрией.

Переход от геометрии к алгебре можно увидеть в решении квадратного уравнения аль-Хорезми (рисунок 6.1). Решение все еще выражено геометрическим языком, но теперь геометрия — это прямое воплощение алгебры. Это действительно стандартное алгебраическое решение, но с «квадратами» и «произведениями», понимаемыми буквально как геометрические квадраты и прямоугольники. Чтобы решить представим квадратом стороны двумя прямоугольниками как на рисунке 6.1. Дополнительный квадрат

площадью 25 «завершает квадрат» стороны до квадрата площадью поскольку 39 — заданное значение Таким образом, большой квадрат имеет площадь 64, следовательно, его сторона Это дает решение

Рисунок 6.1: Решение квадратного уравнения

Евклид и аль-Хорезми не признавали отрицательных длин, поэтому решение не появляется. Это вполне естественно, поскольку геометрия допускает только один квадрат с площадью 64. Избежание отрицательных коэффициентов вызывает, однако, некоторые неестественные алгебраические сложности. Здесь не одно общее квадратное уравнение, а три, соответствующие различным способам распределения положительных членов между двумя сторонами:

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление