Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.29. Уравнение Пелля у Бхаскары II

Брахмагупта нашел решения в целых числах многих уравнений Пелля с помощью своего метода композиции, но он не смог применить его равномерно для всех значений Лучшее, что он смог сделать, показать, что если имеет решение в целых числах для или , то также имеет решение в целых числах. Его доказательства, что композиция имеет успех в этих случаях можно найти у Сринивасиенгара (1967), с. 111.

Первый общий метод решения уравнения Пелля был дан Бхаскарой II в его Bijaganita (1150 г. н. э.). Он завершил программу Брахмагупты, дав метод, называемый или цикличный процесс, который всегда приносит успех в отыскании целых х, у, к при или . По общему признанию, Бхаскара II не дал доказательства, что цикличный процесс всегда работает, — это впервые сделал Лагранж (1768), — но, фактически, он работает. Доказательство, использующее только понятия, доступные Бхаскаре II, можно найти у Вейля (1984), с. 22. Мы просто опишем цикличный процесс и один из его самых эффектных успехов — решение

При заданных относительно простых числах a и b, так что мы составляем композицию тройки с тройкой полученной из тривиального уравнения

Результат — тройка масштаб которой

можно уменьшить возможно неинтегрируемой) тройки

Теперь мы выбираем так что целое число, и оказывается, что тоже целые числа. Если мы также выберем так что по возможности наименьшее, мы вполне на пути к тройке при .

Пример, [Это пример Бхаскары. См. Коулбрук (1817), стр. 176-178.]

Решение. Уравнение дает нам тройку (8,1, 3). Мы составляем композицию (8,1, 3) с получая тройку следовательно,

Выбирая (потому что — ближайший квадрат к , при котором 3 делит мы получаем тройку , поэтому уже . Мы уменьшаем масштаб дальше до тройки . Составление композиции с собой дает и составление ее композиции заново с дает целую тройку (29718, 3805, —1). Наконец, составление композиции последней с собой дает тройку (1766319049, 226153980,1).

Таким образом, уравнение имеет решение в целых числах

Этот удивительный пример был вновь открыт Ферма (1657), который сформулировал уравнение в качестве сложной задачи своему коллеге Френиклу. Решение действительно, минимальное ненулевое решение которое предполагает, что уравнение Пелля имеют много скрытой сложности — не ожидаешь, что такой короткий вопрос имеет такой длинный ответ. Предположительно, Бхаскара II и Ферма знали, что уравнение Пелля особенно трудно для Среди уравнений Пелля для это имеет наибольшие минимальные решения, и гораздо большие, чем любое для

Цикличный процесс немного слишком успешен на потому что он завершается раньше, чем что-либо «цикличное» становится очевидным. Фактически, цикличный процесс обнаруживает ту же периодичность, которую мы ранее наблюдали в непрерывной дроби для (раздел 3.3), и величина минимального решения связана с длиной периода. Эти факты стали ясны лишь в работе Лагранжа (1768), которая основана на изучении непрерывных дробей.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление