Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

21.144. Разложение идеала

В Z мы видели, что «разделить, значит содержать», потому что

В мы можем тогда сказать, что неглавный идеал ведет себя как общий делитель потому что

Несомненно, мы можем ожидать, что наибольший общий делитель поскольку в Z всегда верно, что

И не только потому, что мы можем ожидать, что простое число. В Z мы отмечаем, что простое число, если и только идеал максимален; то есть, единственный идеал, собственно содержащий само Это происходит потому, что любое а взаимно простое число к следовательно, та для некоторых тип, поэтому 1 есть в любом идеале, содержащем и

Доказать, что максимально даже легче. Мы предполагаем, что что означает, что то — четное. Но тогда следовательно, 1 есть в любом идеале, содержащем и Поэтому таким идеалом является само

Подведем итог: если идеалы в имеют свойства делимости, похожие на свойства в то и он — простое число. Дедекинд (1871) определил произведение идеалов, с тем чтобы делимость вела себя как ожидается.

Определение. Если идеалы, то

Легко проверяется, что идеал и (с большей трудностью), что включение понятия делимости согласуется с обычным понятием: В делит А, если есть идеал С, так что Однако, радует именно то, что произведение идеалов объясняет неоднозначное разложение на простые множители в

разлагая обе стороны на одинаковые произведения идеалов. По существу, мы имеем

В качестве примера, мы докажем первое из этих утверждений. Разложение идеала Оно следует из определения произведения идеалов, что

Добавив элементы из мы находим Отсюда следует, что все кратные 2 находятся в то есть, содержит (2).

Обратно, любой элемент есть сумма произведений членов Любое произведение, включающее есть кратное 2, и любое произведение, включающее тоже. Поэтому любой элемент есть кратное 2, следовательно, содержит (2), что и требовалось.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление