Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

21.143. Идеалы

Куммер не определил в явном виде свои «идеальные числа». Скорее он заметил, что простые алгебраические целые числа иногда ведут себя как будто они нетривиальные произведения, и из их поведения он сделал вывод о поведении их «идеальных множителей». Дедекинд (1871) показал, что «идеальные множители» можно реализовать множествами действительных чисел, и он назвал эти множества идеалами. Для того чтобы проиллюстрировать свой метод, в своей (1877) работе он использовал числа в показав, что 2 и 3 ведут себя, как будто они являются произведениями простых чисел и затем показав, как можно реализовать в качестве идеалов.

Здесь мы встанем на несколько другой путь к той же цели; сначала используем идеалы, чтобы перезаписать теорию делимости и затем используем их, чтобы ввести Идеалы, реализующие , оказываются нод алгебраических целых чисел.

Идеалы в Z

В Z мы имеем общеизвестные факты, что

Эти факты можно перезаписать в понятиях множеств

которые являются примерами идеалов. Эквивалентами первых двух фактов являются

которые можно резюмировать девизом разделить, значит содержать. Для того чтобы выразить третий факт, мы рассмотрим еще один идеал, сумму (2) и (3):

Ясно, что делит любой член множества и, действительно, не трудно показать, что

Вообще, мы называем подмножество I кольца идеалом, если

Тогда для любого множество очевидно является идеалом, который называется главным идеалом, порожденным а. Не трудно доказать (см. подраздел ниже и упражнения), что

Поскольку идеалы в Z соответствуют числам в язык идеалов не говорит нам ничего о том, что мы уже не знаем. Однако понятие идеала обобщается на другие кольца, где предположительно оно может дать нам новое понимание.

Идеалы в

Из раздела 21.2 мы знаем, что имеет много подобий в потому что они оба обладают свойством деления. Эти подобия распространяются на свойства идеалов в и свойство деления объясняет почему. В частности, оно объясняет, почему каждый идеал в имеет вид

Предположим, что I — идеал и рассмотрим ненулевой элемент минимальной нормы. Тогда I содержит множество кратных поскольку идеал содержит все кратные любого элемента. Кроме того, I не может содержать любое а по свойству деления: если существует такое а, есть кратное при Но следовательно, также что противоречит выбору так ненулевого элемента I минимальной нормы.

Таким образом, любой идеал состоит из всех кратных некоторого которое, так мы видели в разделе 21.1, — множество такой же формы, так То же самое верно для главных идеалов в любом все они имеют одинаковую (прямоугольную) форму. Действительно, множество кратных состоит из сумм элементов которые определяют прямоугольник такой же формы, так прямоугольник, определенный порождающими элементами

Идеалы в содержит идеал, который не имеет такую же форму, так само Мы ожидаем этого, поскольку однозначное разложение на простые множители в не удается, и поэтому свойство деления тоже не выполняется; однако сделать эту неудачу видимой доставляет удовлетворение.

Один такой идеал — сумма I главных идеалов (2) и

часть которого показана на рисунке 21.2.

Из рисунка ясно, что I (состоящая из черных точек) — не прямоугольна по форме, так (состоящее из черных и белых точек) — черные соседи любой черной точки не включают любые две в перпендикулярных направлениях.

Поэтому члены I не являются кратными любого Они,

если вы предпочитаете, кратные «идеального числа» — число, которое находится за пределами

Рисунок 21.2: Неглавный идеал

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление