Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

21.141. Гауссовы целые числа

Кроме самого простейшее множество чисел, которые «ведут себя» как целые множество чисел вида а где Они называются гауссовы целые числа, потому что Гаусс (1832с) первый изучил их и доказал их основные свойства. похоже на оно замкнуто при операциях но также имеет простые числа и однозначное разложение на простые множители.

Обыкновенное простое число можно определить как целое величины которая не является произведением целых меньшей величины. Гауссово простое число можно определить таким же образом, при условии, что мы делаем разумное определение «величины». Обыкновенное абсолютное значение подходящая мера, поэтому

мы говорим, что гауссово целое число а — это гауссово простое число, если но а не является произведением гауссовых целых чисел меньшего абсолютного значения.

Эквивалентным является определение гауссовых простых чисел на основе квадрата абсолютного значения, известного как норма То есть, а — гауссово простое число, если и а — не произведение гауссовых целых чисел меньшей нормы.

Преимущество нормы заключается в том, что обыкновенное положительное целое число, поэтому мы можем использовать известные свойства целых чисел. Например, мы можем сразу увидеть, почему всякое гауссово целое число имеет разложение на гауссовы простые множители. А именно, если а — само не является гауссовым простым числом, то где Если гауссовы простые числа, то мы имеем разложение а на гауссовы простые множители; если нет, по крайней мере, одно из них разлагается на гауссовы целые числа меньшей нормы, и т. д. Это процесс должен закончиться, потому что нормы — это обыкновенные целые числа, и, следовательно, они не смогут уменьшаться бесконечно по величине. При завершении, мы имеем разложение а на гауссовы простые множители.

Однозначность этого разложения на простые множители — более глубокий результат, ради которого удобно возвратиться к мере абсолютного значения величины и интерпретировать а как расстояние от О. Это дает нам возможность доказать, что гауссовы целые числа имеют «деление с остатком» удивительно геометрическим образом.

Теорема Свойство деления Для любых в имеются так что

Доказательство. Кратные для это суммы членов Отсюда следует, поскольку линии от О до перпендикулярны, что числа лежат на углах решетки квадратов стороны как на рисунке 21.1.

Теперь а лежит в одном из этих квадратов, и, если мы допустим

отсюда следует, что перпендикуляры от а к ближайшим сторонам имеют длину 1/31/2 (нарисуйте картинку). Поэтому, поскольку две стороны треугольника имеют общую длину больше, чем третья,

что и требовалось.

Рисунок 21.1: Кратные

Свойство деления имеет следующие следствия, параллельные следствиям для натуральных чисел, описанных в разделе 3.3.

1. Для имеется евклидов алгоритм, который принимает любые и многократно делит большую пару на меньшую, сохраняя меньшее число и остаток. Он заканчивается нахождением общего делителя который наибольший в норме.

3. Если гауссово простое число, которое делит то делит а или

4. Разложение на гауссовы простые множители гауссова целого числа однозначно, вплоть до порядка множителей и множителей нормы 1 (то есть множителей ).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление