Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 19. Теория групп

19.125. Понятие группы

Понятие группы — одна из самых важных объединяющих идей в математике. Она собирает воедино широкий круг математических структур, для которых существует понятие комбинации или «произведения». Такие произведения включают обыкновенное арифметическое произведение чисел, но более типичный пример, — произведение или композиция функций. Если функции, то функции, значение аргумента х которых — [Причина написания как заключается в том, что ее значение — «примени затем Мы вынуждены обратить внимание на порядок, потому что, вообще, Формально определяется, что группа множество с операцией, которая называется произведением и обозначается записью рядом, особым элементом, который называется единичным и записывается 1, и, для каждой элементом, который называется обратным и записывается со следующими свойствами:

Эти аксиомы развивались на протяжении более ста лет работы с особыми группами, в течение которого их основные свойства выяснялись лишь постепенно. Мы взглянем на некоторые группы, которые сыграли важную роль в этом процессе в других разделах этой главы. На практике, свойства 1) и 2), как правило, очевидны, и важнее гарантировать, что операция произведения действительно определена для всех элементов В ответ на это желание были созданы многие математические понятия, сначала неосознанно, ради существования произведений.

Например, в разделе 8.2 мы видели, что перспективный вид перспективного вида, вообще, не является перспективным видом. Поэтому, если мы примем, что «произведение» перспективного преобразования и перспективного преобразования является результатом выполнения затем то не всегда принадлежит множеству перспективных преобразований. Множество проективных преобразований — простейшее возможное расширение множества перспективных преобразований до множества, на котором произведение всегда определено, а именно, множество конечных произведений перспективных преобразований.

В других случаях, понятия появились в результате желания иметь обратные величины. Отрицательные числа, например, можно рассматривать как результат расширения множества до множества, в котором каждый элемент имеет обратную величину в процессе операции Еще один пример — расширение плоскости точками в бесконечности, которое гарантирует, что каждое проективное преобразование имеет обратное, потому что оно дает возможность точкам, которые проектируются в бесконечность, снова быть спроектированными обратно.

Возможно, самое раннее нетривиальное использование обращения встречается в операции «умножения по модулю которую Эйлер (1758) (и, может быть, Ферма до него) использовали, чтобы дать, по существу, теоретико-групповое доказате ьств о малой теоремы Ферма. Напомним из раздела 5.1, что целые тип называются конгруэнтными по модулю если они отличаются по целому кратному и из раздела 5.2, что обратная величина а относительно умножения если конгруэнтно 1 по модулю то есть, если для некоторого целого k. Если простое число, и а — не кратное то такое существует по применению евклидова алгоритма к взаимно простым числам (разделы 3.3 и 5.2). Эйлер в своем доказательстве не определил группу, но нам легко это сделать (и, соответственно, иначе выразить его доказательство; см. упражнения). Элементы группы — ненулевые классы вычетов

с произведением, определенным

где обычное арифметическое произведение. Групповые свойства 1) и 2) следуют из обычной арифметики; 3), как мы видели, следует из евклидова алгоритма.

Предыдущие примеры иллюстрируют влияние геометрии и теории чисел на понятие группы. Еще более решающее влияние оказала теория уравнений, на которую мы кратко взглянем в следующем разделе. Более подробное описание развития понятия группы можно найти у Вуссинга (1984).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление