Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 18. Неевклидова геометрия

18.118. Аксиома о параллельных

До девятнадцатого века геометрия Евклида пользовалась абсолютным авторитетом, и как аксиоматическая система, и как описание физического пространства. Доказательства Евклида считались моделями логической строгости, и его аксиомы принимались как верные утверждения о физическом пространстве. Даже сегодня геометрия Евклида — простейший тип геометрии, и она завершает простейшее описание физического пространства для повседневных целей. За пределами повседневного мира, однако, лежит обширная Вселенная, которую можно понять лишь с помощью расширенной геометрии. Расширение геометрических понятий первоначально выросло из неудовлетворенности одной из аксиом Евклида, аксиомой о параллельных.

Для наших целей самая удобная формулировка аксиомы о параллельных следующая:

Аксиома Для всякой прямой линии и точки за пределами существует как раз одна линия, проходящая через которая не пересекает

Есть много других эквивалентных формулировок Аксиомы некоторые, очевидно, довольно близки ей, например, собственно евклидова:

Так, если прямая линия, падающая на две прямые линии, образует внутренние углы с одной и той же стороны меньше, чем два прямых угла, то две прямые линии, если продолженные неограниченно, встретятся на той стороне, на которой углы меньше, чем оба прямых угла.

[Хит (1925), с. 202]

Другие формулировки Аксиомы очевидно, менее ей эквивалентны. Например,

1) Сумма углов треугольника

2) Геометрическое место точек, равноотстоящих от прямой линии есть прямая линия. (аль-Хайсам, около 1000 г. н. э.)

3) Подобные треугольники различной размеров существуют [Валлис (1663); см. Фовел и Грей (1988), с.510].

Таким образом, отказ от аксиомы о параллельных влечет за собой отказ от 1), 2), 3). Отказ от 3) означает, в частности, что геометрически подобные модели невозможны, поскольку три точки в исходном объекте и три соответствующие точки геометрически подобной модели определяли бы подобные треугольники различных размеров.

Такие маловероятные последствия убедили многих людей, что аксиома о параллельных была логически необходимым свойством прямых линий, которое уже подразумевалось другими аксиомами Евклида, и поэтому предпринимались усилия полностью доказать ее.

Самая упорная попытка, озаглавленная Euclides ab omni naevo vindicatus (Евлид, очищенный от всякого изъяна) была предпринята Саккери (1733). План наступления Саккери начался с деления отказа от аксиомы о параллельных на две альтернативы:

Аксиома Линии, проходящей через которая не пересекает нет.

Аксиома Есть, по крайней мере, две линии, проходящие через которые не пересекают

Следующий шаг заключался в разрушении каждой альтернативы, путем вывода из нее противоречия. Он успешно вывел противоречие из Аксиомы используя другие аксиомы Евклида, как, например, аксиому, что прямую линию можно продолжить бесконечно. (Такие дополнительные допущения, без сомнения, необходимы, поскольку большие круги на сфере имеют некоторые свойства прямых линий, кроме тех случаев, когда они конечны по длине.)

Саккери меньше преуспел с Аксиомой Следствия, которые он вывел из нее, надеясь получить противоречие, были следующими. Среди линий проходящих через которые не пересекают есть две крайние, или которые называются параллелями или асимптотическими линиями (рисунок 18.1); любая из этих линий строго между имеет общий перпендикуляр с более того, положение этого перпендикуляра стремится к бесконечности по мере того, как стремится к или Хотя и любопытные, эти следствия Аксиомы не были противоречивыми, и Саккери, чувствуя,

что противоречие ускользает от него, попытался догнать его, перейдя к бесконечности.

Рисунок 18.1: Асимптотические линии

Он утверждал, что асимптотическая линия пересечет в бесконечности и будет иметь там общий перпендикуляр с ней. Возможно, это было правдоподобно, при наличии похожих аргументов в проективной геометрии, хотя Евклид, несомненно, этого бы не принял. Но это все же не было противоречием. Саккери лишь заявил, что такой вывод был «несовместим с природой прямой линии» [Саккери (1733), с. 173], возможно, мысленно представив пересечение, как на рисунке 18.2. Но почему асимптотические линии не должны быть касательными в бесконечности? История должна была показать, что это было подходящим разрешением «противоречия» Саккери (см. раздел 18.5). Поэтому результаты Саккери не были, как он думал, шагами к доказательству аксиомы о параллельных; они были первыми теоремами неевклидовой геометрии, в которой Аксиома заменяет аксиому о параллельных.

Рисунок 18.2: Гипотетическое пересечение в бесконечности

Упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление