Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

17.116. Теорема Гаусса-Бонне

В разделе 17.2 мы заметили, что

для простой замкнутой кривой в плоскости. Этот результат имеет глубокое обобщение до кривых поверхностей, которое известно как теорема Гаусса-Бонне. На кривой поверхности к должна быть заменена геодезической кривизной и теорема утверждает, что

где А обозначает площади, и область, окруженную [Бонне (1848)]. Сам Гаусс опубликовал только частный случай, или скорее предел частного случая, в котором — геодезический треугольник. В этом

случае, конечно, вдоль сторон становится бесконечной в углах. Округляя углы малыми дугами видно (рисунок 17.10), что

где внешние углы треугольника, и — округленное приближение к треугольнику

Рисунок 17.10: Округление геодезического треугольника

Затем, допустив, что сторона округленных углов стремится к нулю, получаем

где внутренние углы треугольника. Введя величину

называемую угловым избытком треугольника (потому что обыкновенный треугольник имеет сумму углов мы имеем

и результат Гаусса (1827) заключался в том, что

Мы видим, что интеграл гауссовой кривизны имеет более элементарный геометрический смысл, чем кривизна Из этого ясно, что, в сущности, Гаусс сначала подумал об угловом избытке, затем об интеграле кривизны, и только в последнюю очередь о самой кривизне. Разложение на главные кривизны, вероятно, пришло позже, когда он переработал свои геометрические идеи в аналитической форме, изменив в процессе этого порядок открытия на обратный. Домбровский (1979) сделал достоверную реконструкцию первоначального подхода, используя ключи из неопубликованной работы Гаусса.

Роль углового избытка можно яснее увидеть в случае постоянной кривизны В этом случай

поэтому угловой избыток дает меру площади, результат, о котором Гаусс заявил в письме (1846а), стал известен в 1794 году. Фактически, частный случай этого результата для сферы был известен Томасу Гарриоту в 1603 году [см. Лоне (1979)]. Элегантное доказательство Гарриота протекает как следует ниже (см. рисунок 17.11). Рисунок 17.11: Площадь сферического треугольника Продолжение сторон треугольника дает разбиение сферы на четыре пары конгруэнтных, диаметрально противоположных треугольников (рисунок 17.11а). Мы обозначаем площадь и диаметрально ей противоположную за Три другие пары представляют площади которые дополняют в «слоях» сферы углов соответственно (рисунок 17.11b).

Поскольку площадь слоя умножить на угол, где радиус сферы, мы имеем

откуда, сложением

С другой стороны,

и подстановка этого в (1) дает

что и требовалось, поскольку кривизне сферы.

Гаусса интересовала соответствующая величина этого результата для отрицательной кривизны, в этом случае сумма углов треугольника меньше и мы скорее имеем угловой дефект, чем угловой избыток. Его исследования в этом случае привели его не только к гауссовой кривизне, но также к неевклидовой геометрии.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление