Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

17.115. Геодезические линии

«Прямую линию», или геодезическую, как ее называют, можно определить эквивалентно свойству кратчайшего расстояния или свойству нулевой кривизны. Определение кратчайшего расстояния исторически было первым, даже если оно математически глубже, и при условии неудобства, что геодезическая линия не обязательно кратчайший путь между двумя точками. На сфере, например, между двумя близкими точками есть две геодезические линии: меньшая часть и бблыная часть большого круга, проходящие через Мы можем охватить обе, сказав, что геодезическая дает кратчайшее расстояние между любыми двумя ее точками, которые находятся достаточно близко друг от друга. Говоря о кратчайшем расстоянии, даже между близкими точками по-прежнему имеем задачу вариационного исчисления: какая кривая от имеет минимальную длину. Тем не менее, именно так впервые были определены геодезические линии, Якобом и Иоганном Бернулли; и Эйлер (1728а), исходя из этого подхода, нашел дифференциальное уравнение для геодезических линий.

Более элементарный подход — определить геодезическую кривизну в кривой С на поверхности как обыкновенную кривизну ортогональной проекции С на касательную плоскость к Как можно ожидать, геодезическую кривизну также можно определить внутренне, и этим путем Гаусс (1825) ввел Тогда геодезическая — это кривая нулевой геодезической кривизны. Это определение Бонне (1848).

Последнее определение непосредственно показывает, что большие круги на сфере являются геодез и чески и линиями, поскольку их проекции на касательные плоскости — прямые линии. Другие примеры — горизонтальные линии, вертикальные круги и спирали на цилиндре (рисунок 17.9). Все они получаются из прямых линий на плоскости, которая свертывается, чтобы образовать цилиндр. Не все геодезические на псевдосфере и других поверхностях отрицательной кривизны столь просты для описания. Однако, следующая глава показывает, что они

становятся простыми, когда соответственно отображаешь поверхность постоянной отрицательной кривизны на плоскость. Рисунок 17.9: Геодезические на цилиндре

Упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление