Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

16.107. Двойная периодичность эллиптических функций

Представление об интегрировании комплексной функции, обеспеченное теоремой Коши, — шаг к пониманию эллиптических интегралов,

тагах как Другой важный шаг — идея о римановой поверхности (раздел 15.4), которая дает нам возможность мысленно представить возможные пути интегрирования от до . «Функция» , конечно, двузначная, и по аргументации, похожей на аргументацию раздела 15.4, представлена двулистным покрытием сферы с точками ветвления в Поэтому пути интегрирования, правильно изображенные, — кривые на этой поверхности, которая топологически является тором (опять, как в разделе 15.4).

Теперь тор содержит некоторые замкнутые кривые, которые не ограничивают участок поверхности, например, кривые и показанные на рисунке 16.1. Области ограниченной или — 2, нет; следовательно, теорема Грина не применяется, и мы, по существу, получаем ненулевые значения

Следовательно, интеграл

будет неопределенным: для каждого значения полученного для некоторого пути от до мы также получаем значения добавив к виток, который обвивается то раз вокруг и раз вокруг (По топологическим причинам это, по существу, наиболее общий путь интегрирования.)

Отсюда следует, что обратное отношение эллиптическая функция, соответствующая интегралу, удовлетворяет

для любых целых то, То есть, двоякопериодическая, с периодами Это интуитивное объяснение двойной периодичности появилось благодаря Риману (1851), который позже [Риман (1858а)] с этой точки зрения развил теорию эллиптических функций.

Рисунок 16.1.: Неограничивающие кривые на торе

Замечательные разложения в ряд эллиптических функций, которые аналитически показывают двойную периодичность, был открыты Эйзенштейном (1847). Предшественниками рядов Эйзенштейна, как указал сам Эйзенштейн, были разложения на простые дроби круговых функций, открытые Эйлером, например,

[Эйлер (1748а), с. 191]. Очевидно (по крайней мере, формально, хотя следует быть немного осторожным со значением этого суммирования, чтобы обеспечить сходимость), что сумма не изменяется, когда х заменяется на следовательно, период непосредственно показывается ее разложением в ряд. Эйзенштейн показал, что двояко-периодические функции можно получить с помощью аналогичных выражений, таких как

которое снова (с подходящей интерпретацией для обеспечения сходимости) очевидным образом не изменяется, когда заменяется на или Следовательно, мы получаем функцию с периодами Приведенная выше функция, фактически, идентична (вплоть до константы) -функции Вейерштрасса, о которой говорилось в разделе 12.5, как обратная интегралу Вейерштрасс (1863), с. 121 нашел отношения между и периодами

где суммы над всеми парами Элегантные современные объяснения теорий Эйзенштейна и Вейерштрасса можно найти у Вейля (1976) и Роберта (1973).

Упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление