Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

15.100. Комплексная проективная линия

В разделе 8.5 мы видели, что добавление точки в бесконечности к действительной линии образует замкнутую кривую, которая качественно похожа на круг. Несомненно, действительная проективная линия в модели сферы действительной проективной плоскости

имеет почти такие же геометрические свойства, как большой круг на сфере, после того, как учитывается тот факт, что антиподальные точки на сфере — это та же точка на Ситуация с комплексной «линией» С похожа, но ее труднее мысленно представить. С — уже двумерна, как мы видели в доказательстве Гаусса основной теоремы алгебры, следовательно, комплексная «плоскость» - четырехмерна, и ее практически невозможно мысленно представить.

Для того чтобы избежать экскурса в четырехмерное пространство, мы сначала изменим наш подход к действительной проективной линии. В разделе 8.5, мы рассмотрели обыкновенные линии в горизонтальной плоскости, не проходящей через начало координат, и продлили каждую до проективной линии, «точки» которой — линии, проходящие через начало координат О в плоскости, проходящей через Негоризонтальные линии в этом семействе соответствуют точкам а горизонтальная линия в семействе — точке в бесконечности Сейчас мы используем это построение снова, чтобы непосредственно продемонстрировать качественную, или точнее топологическую, эквивалентность между проективной линией и кругом (рисунок 15.3).

Рисунок 15.3: Действительная проективная линия

Считается, что начало координат наивысшая точка круга, который в самой нижней точке касается нашей линии Между линиями, проходящими через и точками круга есть непрерывное взаимно однозначное соответствие. Каждая негоризонтальная линия соответствует своему пересечению с кругом, тогда как горизонтальная линия соответствует самому Поэтому проективное завершение которому мы сейчас присваиваем имя топологически такое же, как у круга, в том смысле, что между ними есть непрерывное взаимно однозначное соответствие. Более того, мы можем понимать проективное завершение топологически, как процесс добавления одной «точки», которая «приближается» по мере того, как стремишься к бесконечности в любом направлении вдоль ибо когда х стремится к бесконечности в любом направлении, х стремится к той же точке на круге.

Теперь мы можем рассмотреть проективное завершение С таким же образом, используя рисунок 15.4, который показывает так называемую стереографическую проекцию плоскости С на сферу. Каждая точка проектируется на точку z на касательной сфере лучом, проходящим через и северный полюс на Это устанавливает непрерывное взаимно однозначное соответствие между точками на С и точками на Более того, по мере того, как стремится

к бесконечности в любом направлении, z стремится к следовательно, проективное завершение плоскости С — топологически такое же, как полная сфера с точкой в соответствующей

Рисунок 15.4: Комплексная проективная линия

Поскольку для комплексного анализа хочется завершить С точкой этим способом, переходу от С к послужили и геометрия, и анализ. Видимо, Гаусс первый оценил по достоинству преимущества над С, поэтому в анализе часто называют сферой Гаусса. [К сожалению, видимо, сохранились лишь несколько неопубликованных, недатированных фрагментов работы Гаусса на эту тему; см. Гаусс (1819)]. Геометры-алгебраисты называют (комплексной) проективной линией, поскольку она — формальный эквивалент действительной линии, даже если топологически она является поверхностью. Подобным же образом, комплексные кривые топологически являются поверхностями, известными аналитикам, как Римановы поверхности, хотя геометры-алгебраисты предпочитают называть их «кривыми».

Взгляд как на «поверхность» полезен при изучении внутренних свойств комплексных кривых. Например, род (введенный в связи с параметризацией в разделах оказывается имеет очень простое значение в топологии поверхностей (см. раздел 15.4). С другой стороны, взгляд как на «кривую» полезен при изучении пересечений кривых и их вложения в или ее проективного завершения Вместо того, чтобы пытаться представить себе, например, как две плоскости пересекаются в одной точке лучше представить себе пересечение как аналогичное пересечению действительных линий в действительной плоскости, — как единственное решение двух линейных уравнений. В конце концов, мы работаем с С, чтобы устранить аномалии, которые встречаются в а не ради того, чтобы сделать нечто иное, и мы ожидаем, что многое в поведении действительных кривых повторится с комплексными.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление