Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1. Мягкий и жесткий режимы.

Так как эти понятия связаны со структурой разбиения фазового пространства на траектории, а не со специальным аналитическим видом соответствующих дифференциальных уравнений, то мы здесь не будем обращаться к виду дифференциальных уравнений.

Пусть при некоторых фиксированных значениях параметров у системы дифференциальных уравнений, описывающих работу данного устройства (например, лампового генератора), разбиение фазового пространства на траектории имеет вид, представленный на рис. 112,б, т. е. начало координат О — неустойчивый фокус, и существует единственный предельный цикл окружающий начало О.

Рис. 112

Тогда, очевидно, при любых начальных значениях (за исключением того нереального случая, когда начальная точка совпадает с началом О) изображающая точка будет по соответствующей траектории стремиться к предельному циклу (так как состояние равновесия неустойчиво). На физическом языке это означает, что при любых начальных условиях (и, в частности, при таких, при которых начальная точка сколь угодно близка к началу О, но не совпадает с О) будет устанавливаться один и тот же автоколебательный режим.

В этом случае говорят, что имеет место мягкий режим.

Предположим теперь, — опять не обращаясь к конкретному аналитическому виду системы дифференциальных уравнений, — что у этой системы (которая описывает работу некоторого устройства, например, лампового генератора при другой характеристике лампы, чем в выше рассмотренном случае) при некоторых фиксированных значениях параметров разбиение фазового пространства на траектории имеет вид, представленный на рис. 113, а, т. е. начало координат - устойчивый фокус, и вокруг этого фокуса — два предельных цикла — неустойчивый и устойчивый (неустойчивый предельный цикл отделяет состояние равновесия О от устойчивого предельного цикла

Рис. 113

Очевидно, если начальная точка на фазовой плоскости достаточно близка к началу О (лежит между точкой О и предельным циклом то изображающая точка по соответствующей траектории стремится к устойчивому состоянию равновесия, колебаний не возникает (устанавливается равновесный режим). Для того чтобы возникли автоколебания, надо начальную точку «забросить» достаточно далеко от начала, т. е. во всяком случае за неустойчивый цикл Очевидно, для всех начальных точек, лежащих вне неустойчивого цикла, изображающая точка стремится к устойчивому предельному циклу т. е. возникают автоколебания.

В этом случае говорят, что имеет место жесткий режим.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление