Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 13. АДЕКВАТНОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ ФАКТАМИ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ И ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Введение. Очень многие явления и многочисленные практически важные устройства целесообразна объединить в отдельный класс — класс «автоколебательных» систем. Общей чертой этих систем является их способность совершать «автоколебания», т. е. такие колебания, период и амплитуда которых в течение долгого времени могут оставаться постоянными и не зависят от начальных значений (если не для всей плоскости, то во всяком случае для целой области начальных значений), а определяются свойствами самой системы. К числу классических автоколебательных систем относятся, например: ламповый генератор, часы, паровая машина, звонок, духовые и смычковые инструменты и т. д. Автоколебания возникают в передней подвеске автомобиля («шимми»), у самолета при полете («флаттер») и т. д. В различных реальных автоколебательных системах автоколебания играют разную роль. В одних системах автоколебания являются основой этого устройства (ламповый генератор, транзистор, часы, смычковые и духовые инструменты и т. д.), и поэтому реальные параметры подбираются так, чтобы автоколебания имели место, в других — они вредны (шимми, флаттер, колебания в различных регулирующих устройствах), и поэтому реальные параметры, если это возможно, нужно брать такими, чтобы автоколебания отсутствовали. Кроме того, в автоколебательных системах может существовать не один, а несколько «стационарных режимов» — равновесных (состояний равновесия) и автоколебательных с различными периодами и амплитудами, — которые устанавливаются в зависимости от того, из какой области фазового пространства берутся начальные значения и каковы значения параметров, входящих в систему. Однако всегда один и тот же режим устанавливается для целой области начальных значений. Типичной чертой автоколебательных систем является то, что незатухающие колебания — автоколебания — возникают в них за счет непериодического источника энергии (напряжение, которое создает анодная батарея в ламповом

генераторе, заводной механизм в часах и др.), и притом источника энергии, не зависящего от времени. Таким образом, автоколебательные системы описываются не зависящими от времени, т. е. автономными, дифференциальными уравнениями.

Так как в настоящей книге рассматриваются только автономные системы двух дифференциальных уравнений, то мы будем здесь говорить только об автоколебательных системах, с достаточной точностью описываемых системой двух автономных дифференциальных уравнений:

Здесь — параметры, которые в принятой идеализации соответствуют тем реальным параметрам, которые были учтены при написании дифференциальных уравнений. В случае автоколебательных систем эти уравнения заведомо нелинейны и, кроме того, заведомо неконсервативны. Кроме того, как мы уже говорили ранее, такие системы, вообще говоря, за исключением некоторых бифуркационных значений параметров, являются грубыми. Реальные автоколебательные режимы, устанавливающиеся в системах, достаточно точно отображаемых уравнениями вида (А), математически соответствуют устойчивым предельным циклам. Наличие таких предельных циклов в соответствующей системе дифференциальных уравнений является необходимым и достаточным условием для возможности (при надлежащих начальных условиях) существования автоколебаний в системе.

Неустойчивые предельные циклы, а также сепаратрисы отделяют на фазовой плоскости области начальных значений, при которых устанавливается тот или другой стационарный режим, т. е. либо устойчивый предельный цикл, либо устойчивое состояние равновесия.

Аппарат нелинейных и неконсервативных дифференциальных уравнений оказался привлеченным к прикладным задачам в начале нашего столетия в основном в связи с развитием радиотехники, в частности, с изучением работы лампового

генератора. Простое нелинейное уравнение, описывающее работу лампового генератора, позволило адекватным образом объяснить нелинейные эффекты, которые, конечно, имеют место не только в ламповом генераторе, но также и во множестве других устройств, динамика которых достаточно точно описывается дифференциальными уравнениями с аналогичным разбиением фазового пространства на траектории.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление