Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Направление на траекториях. Изменение параметризации.

Как уже было сказано, на всякой траектории вводится определенное направление В качестве положительного (именно

направление в сторону возрастания Введенное таким образом направление не зависит от того, какое из решений, соответствующих траектории мы возьмем (так как все такие решения получаются одно из другого заменой на Рассмотрим наряду с системой (А) систему

Векторное поле системы (А) получается из векторного поля системы (А), если изменить направление каждого вектора на противоположное (не меняя длин векторов). Непосредственной проверкой устанавливается, что каждому решению

системы (А) соответствует решение

системы (А). Отсюда очевидно, что системы (А) и (А) имеют одинаковые траектории, но индуцируют на траекториях противоположные направления. Таким образом, переход от системы (А) к системе (А) можно рассматривать как изменение параметризации на траекториях, именно как замену параметра параметром

Рассмотрим более общий случай изменения параметризации. Пусть -аналитическая функция, определенная в той же области плоскости, что и функции Р(х, у) и и пусть функция отлична от нуля во всех точках, отличных от состояния равновесия системы (А) (и имеет один и тот же знак). Рассмотрим наряду с системой (А) систему

Можно показать, что системы (А) и имеют одни и те же траектории, но с различными параметризациями на них. Именно, можно показать, что между параметрами существует следующая зависимость:

Очевидно, что при переходе от системы (А) к направления на траекториях остаются неизменными, если и меняются, если

Предположим теперь, что функция может обращаться в нуль в точках, отличных от состояний равновесия системы (А), а также может менять знак в области Рассмотрим снова систему Очевидно, что состояниями равновесия системы являются все состояния равновесия системы (А), а также все точки области которые не являются состояниями равновесия системы (А), но в которых

Кривая

будет особой линией системы (каждая точка этой кривой является состоянием равновесия системы (А).

Рассмотрим теперь траекторию системы (А), отличную от состояния равновесия. Если на траектории функция то, так же как и выше, является траекторией системы с измененной, вообще говоря, параметризацией. Если же на траектории имеются точки кривой то все точки отличные от этих точек, распадаются, как легко видеть, на конечное или счетное число гладких кривых, являющихся траекториями системы (рис. 4).

Рис. 4

Направление на каждой такой траектории совпадает с направлением на если на этой траектории и не совпадает в противном случае.

Таким образом, каждая траектория системы (А) либо является траекторией системы либо состоит из конечного или бесконечного множества траекторий системы

В приложениях часто встречаются динамические системы вида

где функция аналитическая, но может обращаться в нуль в области которой рассматривается система). Очевидно в точках, где правые части рассматриваемой системы не определены. Однако при указанном виде правых частей можно путем замены параметра привести рассмотрение системы к рассмотрению системы вида (А).

Действительно, полагая при х и у, не обращающих в нуль мы получаем систему

Эту же систему мы будем рассматривать и при обращающих в нуль функцию (что соответствует доопределению по непрерывности), так что система (А) будет определена во всей области Очевидно, во всякой части области в которой не обращается в нуль, траектории систем совпадают как точечные множества, однако параметры на них различны. При этом там, где направление по совпадает с направлением по а там, где противоположно ему. Точки с координатами х и у, обращающими в нуль функцию в которых правые части системы не определены, естественно выделять и считать не принадлежащими траекториям системы (А) (к таким точкам, как нетрудно убедиться на простых примерах, точка может стремиться по траектории при стремящемся к конечному значению).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление