Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Замкнутые траектории, охватывающие цилиндр.

Пусть такая траектория, и пусть решение системы (3), ей соответствующее. В этом решении обе функции уже не являются периодическими, как для случая замкнутой траектории на плоскости, а значит, и для замкнутой траектории, не охватывающей цилиндр, а, очевидно, удовлетворяют следующему условию: при некотором

Если во всех точках замкнутой кривой, охватывающей цилиндр,

то уравнение такой кривой после исключения из уравнений (4) будет иметь вид

где периодическая функция с периодом т. е.

Так как в минимуме и максимуме функции

то отсюда, очевидно, следует, что если ординаты изоклины

ограничены, и соответственно наименьшая и наибольшая ординаты этой кривой, то, если система (3) имеет замкнутую траекторию, охватывающую цилиндр, эта траектория может лежать на цилиндре только в полосе

Для изучения окрестности замкнутой кривой охватывающей цилиндр, так же как и в случае замкнутой кривой на плоскости, построим функцию последования на каком-нибудь отрезке без контакта, проведенном через точку В качестве отрезка без контакта всегда можно взять отрезок некоторой прямой постоянная), содержащий точку — обозначим ее через замкнутой траектории

Так как функция последования (и функция соответствия) всегда строится (см. гл. 5) в направлении возрастания то нетрудно видеть, развернув цилиндр на плоскость что функция последования на отрезке I прямой строится либо как функция соответствия между отрезком и конгруэнтным ему отрезком прямой либо как функция соответствия между отрезком I и конгруэнтным ему отрезком прямой

Пусть параметр на отрезке I и

— функция последования на нем (т. е. на плоскости функция соответствия между указанными выше отрезками). Очевидно, так же как и в гл. 5, грубый предельный цикл — это замкнутая траектория, для которой Предельный цикл, охватывающий цилиндр, устойчив, если и неустойчив, если

Предельный цикл, охватывающий цилиндр, называется -кратным, если и первый не равный нулю коэффициент он есть

Если то все траектории в окрестности рассматриваемой траектории замкнуты (и, очевидно, охватывают цилиндр). При этом

где

В случае, когда в точках так что уравнение может быть записано в виде

, очевидно, является решением уравнения мы имеем

При этом в случае, когда в точках

мы имеем

а в случае, когда в точках

имеем

Условием устойчивости цикла является

условием неустойчивости —

Принимая во внимание знак в точках мы можем также записать условия устойчивости цикла, охватывающего цилиндр, в следующей форме.

Условие устойчивости:

при

при

Условие неустойчивости:

при

при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление