Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Бифуркации «от бесконечности».

В § 2 рассматривалась смена качественных структур, которая происходила вблизи негрубого особого элемента (сложной особой точки, сложного фокуса и т. д.), лежащего внутри области определения динамической системы. Очевидно, можно также рассмотреть и возможные смены качественных структур в том случае, когда негрубый особый элемент лежит на границе области определения динамической системы. Не останавливаясь на случае, когда система определена в ограниченной части плоскости, укажем некоторые возможности бифуркаций «от бесконечности» в случае, когда

система

определена на всей плоскости. В этом случае при изменении параметров от некоторых фиксированных значений возможно, например:

1. Появление состояния равновесия из бесконечности. Пример 1.

При системы нет состояний равновесия, при (но сколь угодно малом) появляется состояние равновесия с координатами

2. Рождение предельного цикла из бесконечности.

Пусть в системе (А) при значении параметра бесконечность устойчива. Это означает, что все траектории, проходящие вне окружности достаточно большого радиуса, уходят в бесконечность.

Пусть далее при значениях (или ) бесконечность делается неустойчивой, т. е. все траектории, проходящие вне окружности достаточно большого радиуса, входят внутрь этой окружности. Нетрудно видеть, что тогда при существует устойчивый предельный цикл и этот цикл при уходит в бесконечность.

Естественно считать, что этот цикл «рождается» из бесконечности. Очевидно, из бесконечности может также родиться неустойчивый предельный цикл. Пример 2.

При мы получаем линейную систему

с единственным неустойчивым фокусом в начале. Если составить выражение

то нетрудно видеть, что бесконечность устойчива, так как все окружности являются циклами без контакта и траектории при возрастании выходят из этих окружностей.

Составляя то же выражение при мы получим

Очевидно, если то т. е. бесконечность неустойчива.

Нетрудно непосредственно проверить, что окружность

является предельным циклом системы (3). Этот цикл рождается из бесконечности. Пример 3.

При мы имеем, как нетрудно видеть, качественную структуру, изображенную на рис. 109, при изображенную на рис. 110.

Рис. 109

Рис. 110

Предельный цикл — эллипс

родился из бесконечности (из пары прямых

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление