Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 10. БИФУРКАЦИИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

§ 1. Определение бифуркации.

Бифуркацией динамической системы мы будем называть изменение качественной (топологической) структуры разбиения на траектории, происходящее при переходе от данной негрубой системы

к сколь угодно близкой измененной системе

имеющей качественную структуру, отличную от качественной структуры системы (А). При этом под измененными системами, близкими к системе (А), будем (см. § 8 гл. 8) понимать систему, у которых не только сами правые части соответственно близки к но и частные производные от до некоторого определенного (каждый раз устанавливаемого) порядка близки.

У всякой негрубой системы (А) непременно существует по крайней мере одна негрубая особая траектория, т. е. либо негрубое состояние равновесия, либо негрубый предельный цикл, либо негрубая сепаратриса состояния равновесия.

Рассматривая изменение качественного характера траекторий в некоторой достаточно малой окрестности какой-либо негрубой особой траектории (т. е. в окрестности особой точки, в окрестности замкнутой траектории, в окрестности сепаратрисы или некоторого контура, составленного из сепаратрис), мы будем говорить что рассматривается бифуркация негрубой особой траектории (или контура, составленного из особых траекторий) того или другого типа.

Простейшей бифуркацией называется бифуркация при переходе от данной системы (А), являющейся системой первой степени негрубости, к сколь угодно близким грубым системам. При рассмотрении простейших бифуркаций системой (А), близкой к системе (А), мы будем, так же как и в гл. 9, считать систему, У которой правые части и и их производные до

третьего порядка близки соответственно к и производным от них до третьего порядка.

Как мы видели, в случае, когда система (А) является системой первой степени негрубости, у нее имеется негрубая (независимая) траектория одного из следующих типов:

а) двукратное состояние равновесия седло-узел;

б) сложный фокус первого порядка;

в) двойной предельный цикл;

г) сепаратриса, идущая из одного седла в другое, или сепаратриса, идущая из седла в то же седло (образующая петлю), в случае, когда в этом седле

Мы рассмотрим каждую из этих негрубых траекторий и их бифуркации.

Мы уже говорили, что (см. § 8 гл. 8) Пуанкаре фактически пользовался понятием грубости двумерных консервативных систем (в классе консервативных систем) и рассматривал изменение качественной структуры таких систем при изменении параметра. Им же введены термины «бифуркация», «бифуркационное значение параметра», которые использовались впоследствии в [2, 3] (и в настоящей книге) в более широком смысле.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление