Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Необходимые и достаточные условия первой степени негрубости.

Назовем независимой особой траекторией первой степени негрубости каждую из траекторий следующих типов:

1) состояние равновесия седло-узел, для которого (см. § 3);

2) сложный фокус первого порядка (см. гл. 3, § 5);

3) двойной предельный цикл (см. § 4);

4) сепаратрису, идущую из одного седла в другое;

5) сепаратрису, идущую из седла в то же седло, причем в седле координаты седла).

Теорема 6. Если система (А) является системой первой степени негрубости в то у нее не может существовать в двух независимых особых траекторий первой степени негрубости.

Теорема 7. Если система (А) является системой первой степени негрубости в области то в не может быть.

а) сепаратрисы седло-узла, идущей в седло (или из седла);

6) двух сепаратрис седло-узла, являющихся продолжением одна другой;

в) двух сепаратрис седел, одна из которых накручивается на двойной предельный цикл, а другая скручивается с него;

г) сепаратрисы, образующей петлю, на которую накручивается (или с которой скручивается) сепаратриса другого седла.

Мы скажем, что система (А) в области удовлетворяет условиям если в области G:

A) она имеет одну и только одну негрубую независимую особую траекторию первой степени негрубости;

Б) эта особая траектория принадлежит к одному из следующих типов:

1) седло-узел;

2) сложный фокус первого порядка;

3) двойной предельный цикл;

4) сепаратриса, идущая из седла в седло, причем если она возвращается в то же седло, то в этом седле

B) сепаратрисы седел и седло-узлов (являющиеся не независимыми негрубыми особыми траекториями) удовлетворяют следующим требованиям:

1) сепаратриса седла не может накручиваться на сепаратрису другого седла, идущую из седла в то же самое седло (или скручиваться в нее);

2) сепаратриса седла не может накручиваться на двойной цикл, если есть сепаратриса, скручивающаяся с него (и наоборот);

3) сепаратрисы седло-узла не могут ни идти в седло, ни являться продолжением одна другой.

Теорема 8. Если система (А) удовлетворяет в области условиям то она является системой первой степени негрубости в

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление