Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Системы первой степени негрубости.

Пусть, как и всюду выше, рассматривается динамическая система

правые части которой — аналитические функции х и у в некоторой ограниченной замкнутой области плоскости

Так же, как и при определении грубой динамической системы, мы будем предполагать, что граница области является циклом без контакта для траекторий системы (А).

Будем наряду с системой (А) рассматривать всевозможные измененные системы

определенные в той же области что и система (А), с правыми частями, также являющимися аналитическими функциями При введении понятия системы первой степени негрубости по самому смыслу понятия естественно пспользовать другое определение близости двух динамических систем, чем при рассмотрении грубых динамических систем (см. по этому поводу § 8 гл. 8).

Именно, будем говорить, что система -близка в области к системе (А) до ранга 3, если выполняются неравенства

(т. е. если близки и сами функции и их производные до третьего порядка включительно).

В дальнейшем мы будем для краткости опускать слова «в области

Определение III. Динамическая система называется системой первой степени негрубости в области если она не является грубой в и если для всякого найдется такое, что, какую бы систему (А), негрубую в и -близкую до ранга 3 к системе взяли, существует топологическое отображение области на себя, при котором траектории системы (А) и (А) отображаются друг в друга, и соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии, меньшем

В силу определения III динамические системы первой степени негрубости являются, очевидно, системами релятивно грубыми в множестве негрубых систем.

Мы сформулируем здесь основные предложения, с помощы» которых устанавливаются необходимые достаточные условия того, что система (А) является системой первой степени негрубости

Необходимыми и достаточными условиями грубости динамической системы являются условия I - III § 6 гл. 8.

Следовательно, если система (А) является негрубой, то у нее непременно должны существовать:

1) либо состояние равновесия, у которого

2) либо состояние равновесия, у которого

3) либо предельный цикл с характеристическим показателем, равным нулю;

4) либо сепаратриса, идущая из седла в седло.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление