Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Замечания по поводу определения грубой системы.

Как уже было сказано в § 1, определение грубой динамической системы впервые было дано в предположении, что граница замкнутой области в которой рассматривается данная система и все близкие измененные системы, является циклом без контакта. Это предположение, очевидно, вызвано только тем, что формулировка определения грубости при нем упрощается.

Очевидно, однако, что при принятии такого определения мы не имели возможности говорить о грубости целого ряда систем, которые естественно считать грубыми. Так, например, пусть рассматривается динамическая система, которая имеет в некоторой области (ограниченной замкнутой кривой) только одно седло или узел и седло. Такие системы мы должны, очевидно, считать грубыми. Но мы не можем пользоваться определением I, так как граница области в этих примерах, очевидно, не может быть циклом без контакта. Индекс замкнутой кривой, являющейся границей области в этих случаях, очевидно, не равен единице, и, следовательно, она не может быть циклом без контакта. Можно «подправить» определение I, делая более общие предположения относительно границы области Например, можно допускать, что граница области есть гладкая простая замкнутая кривая, имеющая конечное число касаний с траекториями системы (А) и не содержащая состояний равновесия (см. [155]). Однако всякие такие предположения относительно границы области всегда являются ограничениями, посторонними понятию грубости динамической системы. Ограничения на возможные границы должны вытекать из определения грубости. Кроме того, по смыслу понятия грубости из грубости системы в некоторой области должна вытекать — непосредственно из определения — грубость системы в произвольной замкнутой области содержащейся в Поэтому все указанные определения грубости (с условиями на границе) не полностью отражают смысл понятия грубости системы, а его отражает более сложное по форме определение I. Отметим, что из определения I непосредственно вытекает, что система (А) - грубая в некоторой области груба во всякой области Определение фактически используется также при рассмотрении негрубых систем, когда область, в которой рассматривается негрубая система, естественным образом разделяется на части, в которых система является грубой, и части, в которых система содержит негрубые элементы.

Кроме приведенных в настоящей главе определений грубости в математической литературе существует еще несколько

отличное определение грубости, данное Пейксото (см. [156, 157]), которое мы здесь приведем.

Это определение также было дано в предположении, что граница области в которой рассматривается система (А), является циклом без контакта.

Определение II (грубости динамической системы без -тождественности). Система (А) является грубой в области (ограниченной циклом без контакта), если существует такое что всякая динамическая система -близкая к (А), имеет в области ту же качественную структуру, что и система (А).

Очевидно, что если система груба в смысле определения I, то она является грубой и в смысле определения II. Обратное не очевидно. Однако Пейксото [157] показано, что необходимые и достаточные условия грубости в смысле определения II совпадают с необходимыми и достаточными условиями грубости в смысле определения I. Определение II имеет следующее преимущество: непосредственно из этого определения вытекает тот факт, что грубые системы в пространстве динамических систем заполняют области. При определении I этот факт нужно доказать, опираясь на необходимые и достаточные условия грубости.

В настоящее время широко используется определение грубости динамической системы на двумерных (и многомерных) многообразиях, а также определение грубости диффеоморфизмов многообразий (точечных отображений) без -тождественности (см. список литературы в [111]). При этом используется не термин «грубость», а термин «структурная устойчивость».

Рассмотрение условий грубости динамических систем на поверхностях выходит за рамки настоящей книги (см. [14—18, 111]).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление