Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Типы особых траекторий и ячеек в грубых системах.

Необходимые и достаточные условия грубости налагают определенные ограничения на возможные в грубых системах типы особых траекторий.

Особыми траекториями в грубых системах, очевидно, являются: грубые состояния равновесия (узлы, грубые фокусы, седла), предельные циклы (грубые) и сепаратрисы седел. При этом -сепаратрисы при стремятся либо к узлу, либо к фокусу, либо к предельному циклу.

Рис. 93

Как уже было сказано, знание расположения этих особых траекторий (схема динамической системы) полностью определяет качественную структуру разбиения на траектории. В рассматриваемом случае грубых систем нужно знать число и характер состояний равновесия, число предельных циклов, взаимное расположение состояний равновесия и предельных циклов и ход сепаратрис.

Особые траектории разделяют область на подобласти — ячейки, заполненные неособыми траекториями.

Укажем возможные в грубых системах типы ячеек. При этом будем рассматривать лишь ячейки, в границы которых не входят граничные для замкнутой области точки. Нетрудно показать, что могут иметь место следующие возможности.

1. Ячейка двусвязна, и граница ее состопт либо из двух предельных циклов (устойчивого и неустойчивого), либо из предельного цикла и одного лежащего внутри этого цикла состояния равновесия, являющегося узлом или фокусом.

2. Ячейка односвязна, и в границу ее входят:

а) одно седло, три сепаратрисы этого седла: две, стремящиеся к седлу при — и одна — при и состояния равновесия или предельные цпклы, являющиеся предельными для этих сепаратрис;

Рис. 94

б) два седла, две сепаратрисы одного седла, стремящиеся к нему при две сепаратрисы другого седла, стремящиеся к нему при два состояния равновесия (или один или два предельных цикла) — устойчивое и неустойчивое, являющиеся предельными для этих сепаратрис.

Рис. 95

Примеры ячеек типа а) и б) в случае, когда сепаратрисы стремятся к состояниям равновесия, представлены на рис. 93, Когда предельными для сепаратрис являются предельные циклы, могут представиться различные случаи в зависимости от того, лежат сепаратрисы, входящие в границу ячейки, вне или внутри того предельного цикла, к которому они стремятся и в зависимости от того, совпадает ли положительное направление обхода предельного цикла с направлением обхода в сторону возрастания или противоположно ему.

На рис. 94 и 95 приведены некоторые ячейки типа а) и б) (полную классификацию см. [2, 3, 13]). Очевидно, число различных типов ячеек в грубых системах на плоскости конечно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление