Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Поведение сепаратрис седел в грубых системах.

Теоремы 1—9 касаются двух типов особых траекторий: состояний равновесия и замкнутых траекторий. В настоящем пункте рассматривается последний тип особых траекторий — сепаратрисы.

Рис. 91

В грубых системах в силу теоремы 2, очевидно, возможны только сепаратрисы седел.

Если сепаратриса седла О, стремящаяся к этому седлу, например, при при также стремится к седлу (отличному от О или к тому же седлу О), то мы будем коротко говорить, что «сепаратриса седла О идет из седла в седло». Следующая теорема дает последнее необходимое условие грубости системы (А).

Теорема 10.5 грубых системах не может быть сепаратрис, идущих из седла в седло (т. е. невозможны случаи, представленные на рис. 91, а; 92, а).

Рис. 92

Для доказательства этой теоремы наряду с данной системой (А) рассматривается измененная система, дающая поворот поля, т. е. система Как мы видели (см. гл. 7), состояния равновесия системы те же, что и у системы (А). Однако нетрудно показать, что сепаратриса состояния равновесия О системы уже не идет из седла в седло («сепаратриса разделяется» (рис. 91, б, в и рис. 92, б). Отсюда, очевидно, вытекает справедливость утверждения теоремы.

Следствие. В грубой системе сепаратриса не может быть предельной траекторией типа III § 5 гл. 2 (т. е. в грубой системе предельными траекториями могут быть только состояния равновесия (грубые) и предельные циклы (грубые)).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление