Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Сопоставление геометрической интерпретации системы (А) в пространстве (x, y, t) с интерпретацией на фазовой плоскости.

а) В каждую траекторию проектируется бесчисленное множество интегральных кривых пространства получающихся друг из друга заменой на с (или, что то же, проходящих через точки с одними и теми же координатами и различными Каждая такая интегральная кривая соответствует некоторому решению, соответствующему траектории (рис. 2).

б) Если значения, для которых то интегральная кривая пространства проходящая через точку с координатами где любое, очевидно, является прямой, параллельной оси эта прямая проектируется на плоскость в единственную точку которая, очевидно, является состоянием равновесия системы (А).

в) Если решение — периодическое с периодом то в пространстве соответствующая интегральная кривая есть спираль с шагом

Рис. 2

Рис. 3

Эта спираль проектируется на плоскость в замкнутую кривую (рис. 3).

Из теоремы существования и единственности решения вытекает, что точка при изменении двигающаяся по некоторой траектории не может стремиться к точке какой-либо отличной от траектории при стремящемся к конечному значению (в противном случае интегральные кривые в пространстве пересекались бы, что невозможно в силу теоремы 1).

В частности, точка, двигаясь по траектории, отличной от состояния равновесия (отличной от замкнутой траектории), может неограниченно приближаться к состоянию равновесия (замкнутой траектории) либо при либо при

Состояния равновесия и замкнутые траектории являются траекториями, представляющими наибольший интерес для приложений. Состоянию равновесия соответствуют состояния равновесия той физической системы, которая описывается данной динамической системой, а замкнутые траектории соответствуют периодическим движениям — колебаниям, автоколебаниям.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление