Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Грубость динамической системы и теоремы о непрерывной зависимости решения от изменения правых частей.

На основании приведенных теорем мы можем утверждать, что на любом конечном замкнутом промежутке значений (на котором определено решение исходной системы) при малых изменениях правых частей решение измененной системы мало отличается от решения исходной системы.

Однако на основании этих теорем нельзя сделать никаких заключений о неизменности поведения траектории на неограниченном интервале значений и тем более о неизменности характера разбиения на траектории в целом.

Нетрудно убедиться, рассматривая простые примеры, что при изменении правых частей характер разбиения на траектории может как не меняться, так и меняться. Так, например, нетрудно видеть, что у линейной динамической системы вида

для которой начало координат является узлом (эту систему можно, например, рассматривать внутри некоторого цикла без контакта, который в этом случае заведомо существует), топологическая структура не меняется при всех достаточно малых добавках к правым частям.

С другой стороны, рассмотрим систему

у которой все траектории замкнуты (начало координат является состоянием равновесия типа «центр»). Рассмотрим наряду с этой системой измененную систему

Все траектории этой системы, кроме состояния равновесия, — спирали (состояние равновесия есть фокус).

Хотя в силу теоремы 1 на любом конечном промежутке значений при достаточно малом витки спирали системы (4) сколь угодно близки к соответствующей замкнутой траектории системы (3), но очевидно, что при сколь угодно малых топологические структуры разбиений у систем (3) и (4) различны. Таким образом, требование неизменности всей качественной картины траекторий при малых изменениях правых частей в целом непосредственно не вытекает из приведенных теорем о непрерывной зависимости решения от изменения правых частей и требует специального рассмотрения. Мы проведем это рассмотрение в следующей главе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление