Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Основные теоремы о зависимости решения от изменения правых частей динамической системы.

В настоящем параграфе излагаются основные теоремы, касающиеся изменения решения системы дифференциальных уравнений, рассматриваемого на конечном промежутке значений при изменении правых частей системы. На эти теоремы опирается все дальнейшее изложение.

Отметим, что малое изменение решения на конечном промежутке значений отнюдь не обеспечивает неизменность характера целых траекторий и тем более неизменность качественной (топологической) структуры разбиения на траектории в целом.

Пусть динамическая система (А) определена в некоторой ограниченной замкнутой области и наряду с ней рассматривается измененная система (А), определенная в той же области. Как и всюду, будем предполагать, что правые части систем (А) и (А) являются аналитическими функциями х и у.

Теорема 1 (о непрерывной зависимости решения от изменения правой части и начальных условий). Пусть

— решение системы (А), определенное при всех значениях

и какие-нибудь числа между х и удовлетворяющие неравенству

Тогда при любом существует такое, что при условии, что в области

и, кроме того,

решение системы (А), соответствующее начальным значениям

определено при всех значениях и при всех этих значениях выполняются неравенства

Замечание. Если правые части рассматриваемой системы являются непрерывными функциями так что рассматриваемая система имеет вид

а, следовательно, решение этой системы зависит от

то функции являются непрерывными функциями

Теорема 1 может быть сформулирована в следующей геометрической форме:

Задавая любой конечный промежуток времени, можно взять систему (А), столь близкую к данной системе (А), и столь близкие начальные точки, чтобы соответствующие траектории стем (А) и (А) в течение выбранного конечного промежутка времени сколь угодно мало отличались друг от друга.

Наряду с теоремой 1 основную роль в дальнейшем играет также следующая теорема, уточняющая по сравнению с теоремой 1 характер близости решений систем (А) и в случае, когда близки не только правые части систем (А) и (А), но и их частные производные до порядка k.

Пусть по-прежнему решение системы (А) определено при значениях

Теорема 2. Для всякого существует такое, что если в области выполняются неравенства

то решение системы (А)

определено при всех значениях и при всех этих значениях выполняются неравенства

Предположим теперь, что правые части рассматриваемой динамической системы содержат параметр так что система имеет вид

Предположим, кроме того, что функции Р(х, аналитические функции также и параметра

Теорема 3. Если Р(х, -аналитические функции своих аргументов, то и функции

также являются аналитическими в окрестности всякой системы значений для которой они определены.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление