Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Динамические системы, характерные для теории колебаний.

Динамические системы, адекватным образом описывающие задачи, рассматриваемые теорией колебаний, являются, если так можно выразиться, существенно неконсервативными.

Существенная неконсервативность этих систем характеризуется тем, что у них не может быть областей (ячеек (см. § 8, 9 гл. 2)), сплошь заполненных замкнутыми траекториями: все траектории одной и той же ячейки стремятся при к одному и тому же центру притяжения, а при к одному и тому же центру отталкивания. Кроме того, замкнутые траектории таких динамических систем всегда являются изолированными, т. е. предельными, циклами. Как мы уже говорили, именно предельный цпкл, а не замкнутые кривые консервативной системы, является адекватным математическим образом автоколебаний.

Дальнейшее внимательное рассмотрение вопроса о том, какие свойства следует ожидать у существенно неконсервативных динамических систем, соответствующих реальным физическим системам, если при этом изучаются те свойства реальных систем, которые описываются качественным характером траекторий (и если, конечно, соответствующая математическая модель — динамическая система — хорошо отображает свойства реальной системы), привело к понятию грубой динамической системы. Точное определение грубых систем дано в § 1 гл. 8; здесь же сделаем некоторые общие замечания.

Всякая реальная физическая система характеризуется некоторыми физическими параметрами (такими параметрами могут

быть, например, маоса, емкость, коэффициент трения и т. д.). Эти параметры никогда не могут быть абсолютно неизменными во время движения физической системы. Поэтому, если мы утверждаем, что при некоторых заданных значениях параметров движение имеет какой-то определенный характер, например имеют место автоколебания, то это может иметь смысл лишь при условии, что малые изменения физических параметров не меняют характера движения.

Это свойство реальной физической системы, без которого изучение ее поведения вообще не представляется возможным, должно найти отражение в свойствах соответствующих математических моделей, т. е. динамических систем, описывающих реальные физические системы. А это, очевидно, означает, что у таких динамических систем при малых изменениях входящих в них параметров, которые очевидно соответствуют реальным физическим параметрам, характер траекторий не меняется.

Высказанные соображения являются теми эвристическими соображениями, на основании которых представляется целесообразным выделение среди динамических систем второго порядка таких, у которых качественная структура разбиения на траектории не меняется при «малых изменениях» этих систем. Динамические системы, обладающие этими свойствами, называют грубыми.

В гл. 8 дается точное определение грубой динамической системы и при этом уточняется смысл слов «малые изменения динамической системы».

Грубость динамической системы именно и можно считать тем свойством, которое мы выше назвали существенной неконсервативностью. До сих пор мы все время говорили лишь о динамических системах, правые части которых — аналитические функции. Однако в разных вопросах теории колебаний, а также (и в особенности) в теории регулирования для адекватного описания задач часто необходимо рассматривать динамические системы с кусочно-непрерывными или даже с разрывными правыми частями. Такие динамические системы специально также будут рассмотрены в настоящей книге в части IV. Однако в настоящей части мы все время будем предполагать правые части динамических систем аналитическими функциями.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление