Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Условия устойчивости и неустойчивости неподвижной точки точечного отображения.

I. Неподвижная точка точечного отображения устойчива, если

и неустойчива, если

Если то вопрос об устойчивости неподвижной точки определяется высшими производными.

Рассмотрим так называемую диаграмму Ламерея: именно, рассмотрим вспомогательную плоскость на ней график функции и биссектрису (рис. 60). Точки пересечения кривой с биссектрисой очевидно, соответствуют неподвижным точкам точечного отображения

Рис. 60

Условия геометрически означают тот или другой характер пересечения кривой с биссектрисой в неподвижной точке

Если то это означает, что кривая касается биссектрисы в точке (рис. 61 и 62).

II. Пусть Тогда неподвижная точка изолирована, т. е. существует такое что при всех кроме точечного отображения нет больше неподвижных точек и при этом:

а) если к нечетное, то в случае неподвижная точка устойчива, а в случае неустойчива;

б) если к четное, то неподвижная точка полуустойчива, т. е. в зависимости от знака при достаточно близком к точки стремятся

к а при уходят от иначе, к стремятся последовательные «предыдущие» точки).

III. Если при всех k, то все точки также являются неподвижными. В этом случае

и точечным отображением является

Отметим, что для построения на диаграмме Ламерея последовательных последующих даннойточки: нужно построить так называемую лесенку Ламерея, в построении которой нетрудно разобраться (см. рис. 60 и 61).

Рис. 61

Рис. 62

В дальнейшем мы будем также часто пользоваться вспомогательной функцией

Очевидно, если

то соответствует неподвижной точке и при этом устойчивой, если и неустойчивой, если

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление