Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Примеры.

Пример 1.

Разделив одно уравнение на другое, получим

Это уравнение элементарно интегрируется:

Пусть для определенности тогда, очевидно, если то а при Состояние равновесия — седло-узел. Узловая область расположена как на рис. 51, б, если

Нетрудно также установить расположение узловой области и направление на траекториях при других знаках Пример 2.

Для точки :

Подстановкой преобразуем уравнение к виду

Ищем решение уравнения

в виде ряда по степеням Получим

Здесь следовательно, точка узел.

Пример 3.

Интегрируя, получаем Нетрудно видеть, что разбиение на траектории имеет вид, представленный на рис. 53.

Пример 4.

Для точки Подстановкой уравнение приводим к виду

Ищем решение уравнения в виде ряда по степеням Находим Поэтому

Здесь Если то точка -седло-узел (это может быть только в случае ). Если то точка вырожденная особая точка (для нее Если в исходном уравнении будет отсутствовать член то и тогда следовательно, точка будет вырожденной особой точкой.

Пример 5.

Из уравнения находим следовательно,

Таким образом, возможны случаи?

1. . Тогда или следовательно, Особая точка является фокусом или центром.

2. . Тогда Теперь если или или то точка фокус или центр. Если то точка узел. Если то точка точка с замкнутой узловой областью.

Примеры более сложных состояний равновесия. Мы предоставляем читателю рассмотреть приведенные ниже примеры (во всех этих примерах системы могут быть проинтегрированы в квадратурах).

Рис. 56

Рис. 57

Пример 6.

Система интегрируется путем замены Можно показать, что в окрестности состояния равновесия траектории имеют характер, представленный на рис. 56.

Пример 7.

Рис. 58

Система интегрируется с помощью замены и. Рассматривая полученный интеграл, нетрудно убедиться, что состояние равновесия имеет вид, представленный на рис. 57.

Пример 8.

Траекториями этой системы являются кривые кроме того, полуоси Состояние равновесия имеет вид, представленный на рис. 58.

В настоящее время методы исследования сложных особых точек получили дальнейшее развитие (список дополнительной литературы [31, 15, 17, 27]).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление