Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Сложное состояние равновесия (особая точка) с нулевыми характеристическими корнями.

В настоящем параграфе мы приведем результаты исследования одного простейшего типа сложных особых точек. Рассмотрим систему

где и аналитические функции, не имеющие общего множителя, отличного от постоянного.

Пусть начало координат является сложным состоянием равновесия этой системы, т. е. мы имеем

и, следовательно, хотя бы один из характеристических корней этого состояния равновесия равен нулю. Мы будем рассматривать здесь такие сложные состояния равновесия, когда в разложениях по степеням функций Р(х, у) и хотя бы один из линейных членов не равен нулю, т. е. когда

Рассмотрим наряду с величиной величину

Среди состояний равновесия, для которых выполняется условие (6), естественным образом выделяются два случая в зависимости от того, что имеет место: или Так как характеристическое уравнение имеет вид

то, очевидно, в случае, когда только один характеристический корень равен нулю, второй же равен о. В случае, когда оба характеристических корня равны нулю.

I. . В этом случае существует неособое линейное преобразование (см. § 2 гл. 3), с помощью которого система в окрестности начала может быть представлена в следующем каноническом виде:

где разложения по степеням х, у функций и начинаются с членов не менее чем второго порядка.

Введем в рассмотрение функцию

являющуюся решением уравнения

Подставим функцию в Р(х, у) и введем обозначение

Так как мы предположили, что функции Р(х, у) и не имеют общего множителя, отличного от постоянного, то не может быть тождественно равна нулю и, следовательно, в разложении функции по степеням х заведомо будут отличные от нуля члены.

Таким образом, мы можем написать

где (так как разложение Р(х, у) по степеням начинается с членов не ниже второй степени и Число очевидно, характеризует кратность общей точки кривых

Теорема 2. Состояние равновесия для которого может иметь следующий качественный характер:

а) характер седла (при нечетном и );

б) характер узла нечетном и причем при узел устойчивый, а при неустойчивый;

в) состояние равновесия с одним узловым сектором и двумя седловыми (при четном и любом знаке При узловой сектор устойчивый, при неустойчивый.

Рис. 51

Кроме того, если то траектории узлового сектора стремятся к О (при или при в зависимости от знака ) слева от оси у (рис. 51, а), а если то справа от оси у (рис.

Состояние равновесия в случае а) мы будем называть сложным седлом, в случае седло-узлом, а в случае сложным узлом 6).

Нетрудно видеть (см. § 1), что, когда система имеет канонический вид (7), существует два направления, по которым траектории могут стремиться к рассматриваемому состоянию равновесия, это:

На рис. представлен седло-узел в случае, когда система приведена к каноническому виду (7).

Очевидно, в случае, когда в рассматриваемых координатах система не имеет канонического вида, направления, в которых траектории стремятся к началу координат, могут быть отличны от направления осей. Такой случай представлен для случая седло-узла на рис. 51, в.

В дальнейшем особый интерес для нас будет представлять случай который мы будем называть случаем простейшего двукратного седло-узла. В случае будем называть состояние равновесия сложным седло-узлом.

II. . В этом случае, очевидно, оба характеристических корня состояния равновесия равны нулю.

В рассматриваемом случае система линейным неособенным преобразованием приводится к виду

где и аналитические функции, разложения которых по степеням х и у начинаются с членов не менее чем второго порядка.

Рассмотрим следующие функции:

1) функцию являющуюся решением уравнения

2) функцию определяемую формулой

эта функция заведомо не равна нулю тождественно (в силу предположения об отсутствии общих множителей, отличных от постоянных у правых частей рассматриваемой системы), поэтому в разложении по степеням х заведомо будут отличные от нуля члены, и мы можем написать

3) функцию

Функция в отличие от может тождественно обращаться в нуль. Рассмотрим сначала случай, когда так что при некотором Числа и коэффициенты характеризуют качественную структуру особой точки. При этом число к характеризует кратность общей точки изоклин (см. Имеют место следующие теоремы.

Теорема 3. Пусть к четное,

Тогда: 1) в случае, если особая точка имеет качественный характер седло-узла (рис. 52);

2) в случае, когда существует одна полутраектория, стремящаяся к О при и одна полутраектория, стремящаяся к О при все остальные траектории и при возрастании, и при убывании выходят из окрестности О (т. е. окрестность особой точки О состоит из двух седловых секторов).

Такое состояние равновесия мы будем называть вырожденным седло-узлом (рис. 53).

Отметим, что рис. 53 выполнен при условии а рис. 52 соответствует случаю

Теорема 4. Пусть нечетное число и и пусть

Тогда: 1) если то особая точка имеет качественный характер седла (рис. 54);

2) если то особая точка имеет:

а) характер фокуса или центра при а также при [92];

б) характер узла, если четное и при этом или в 10;

в) одну замкнутую узловую (эллиптическую) область, две сопровождающие ее узловые области и одну седловую область (рис. 55), если нечетное число и при этом или

Рис. 52

Рис. 53

Рис. 54

Рис. 54 и 55 выполнены при условии в случае расположение траекторий получается симметричным отображением относительно оси

Рис. 55

Нетрудно видеть, что в случае рассматриваемых состояний равновесия уравнение для определения направления, по которому траектории стремятся к состоянию равновесия:

имеет двукратный нулевой корень (так как мы имеем Все стремящиеся к состоянию равновесия с определенным направлением траектории стремятся к нему, касаясь оси х (см. рис. 52—55). Однако если состояние равновесия есть фокус или центр, то имеем, очевидно, случай, возможность которого была указана: когда, несмотря на наличие действительных корней уравнения (8) и траекторий, стремящихся

к состоянию равновесия, нет траекторий, стремящихся в этом направлении, а все траектории в достаточно малой окрестности являются спиралями или замкнутыми траекториями.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление