Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Угловой коэффициент направления, в котором траектория может стремиться к простому состоянию равновесия.

Запишем рассматриваемую систему в виде

— ряды, начинающиеся со степеней х и у не ниже второй), и при этом

Предположим, кроме того, что рассматриваемое состояние равновесия не центр, так что существует полутраектория при стремящаяся к состоянию равновесия

Тогда имеет предел при (конечный или бесконечный) в том и только в том случае, когда имеет предел причем в случае существования этих пределов они равны, т. е.

При этом угловой коэффициент к удовлетворяет соотношению

т. е. квадратному уравнению

При этом, если то одним из корней этого уравнения считается т. е. одно из направлений, по которому траектории стремятся к состоянию равновесия О, есть направление оси у.

Отметим, что дискриминант квадратного уравнения (13) совпадает с дискриминантом характеристического уравнения. Поэтому в случае, когда этот дискриминант отрицателен, т. е. в случае фокуса (простого или сложного), не существует направлений, в которых траектории могут стремиться к состоянию равновесия. Нетрудно показать, что корни уравнения (13) и связаны с характеристическими корнями и соотношениями

Приведем результаты, касающиеся простых состояний равновесия в предположении, что в окрестности простого состояния равновесия система приведена к каноническому виду.

1. а) Характеристические корни действительны, различны и одинаковых знаков (узел). Система приводится к каноническому виду

В этом случае в уравнении (13) мы имеем следовательно, существует два значения к (напомним, что при мы считаем один корень равным Предположим для определенности, что (устойчивый узел).

Все траектории системы (14) стремятся к состоянию равновесия О в определенных направлениях, и этими направлениями являются При этом в направлениях стремятся только по одной траектории. Все остальные траектории стремятся к узлу в направлениях причем в каждом из этих направлений стремится бесчисленное множество полутраекторий (рис. 41).

Соответствующим образом измененное утверждение имеет место для случая а также для случая, когда О — неустойчивый узел или

б) Характеристические корни равны и система может быть приведена к каноническому виду

Рис. 41

В этом случае узел называют дикритическим. В уравнении . В этом случае каждая траектория системы (15), стремящаяся к узлу О (при если и при если ), стремится к нему в определенном направлении, причем для любого направления имеется в точности одна соответствующая ему полутраектория (рис. 42).

в) Характеристические корни равны и система может быть приведена к виду

В этом случае узел иногда называется вырожденным. В этом случае в уравнении, определяющем угловые коэффициенты направлений

как нетрудно видеть, оба корня этого

уравнения равны бесконечности, и мы получаем два возможных направления:

Каждая траектория системы (16) стремится к состоянию равновесия О в определенном направлении, именно либо в направлении либо в направлении при этом имеется бесчисленное множество полутраекторий, стремящихся к О как в том, так и в другом направлении (рис. 43).

Рис. 42

Рис. 43

2. Характеристические корни действительны и разных знаков. Канонический вид системы:

Уравнение (13) (как и в случае 1) имеет один нулевой корень и один, равный бесконечности. Пусть

Траектории (полусепаратрисы седла) стремятся к седлу О в направлениях При этом две полусепаратрисы стремятся к О при соответственно в направлениях две при в направлениях

Во всех проведенных рассмотрениях мы предполагали, что система приведена к каноническому виду, и поэтому направления, в которых полутраектории стремились к состоянию равновесия, совпадали с направлением осей координат. Очевидно, для системы, не приведенной к каноническому виду, направления могут быть любыми в зависимости от коэффициентов системы.

В случае фокуса, простого или сложного (т. е. когда характеристические корни комплексные или чисто мнимые), корни уравнения (13) тоже комплексные, т. е. нет направлений, по которым траектории могут стремиться к состоянию равновесия. Как мы видели в § 5, в этом случае траектории — спирали.

Можно показать, что в этом случае угол между положительным направлением касательной к траектории, стремящейся к фокусу, и положительным направлением оси неограниченно возрастает при если при если

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление