Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Направления, в которых траектории стремятся к простым состояниям равновесия.

Пусть

— рассматриваемая динамическая система, а изолированное состояние равновесия; О может быть как простым, так и сложным состоянием равновесия, так что детерминант

может быть как не равным, так и равным нулю.

Пусть

— траектория системы (А), стремящаяся к состоянию равновесия при или Так как оба случая исследуются вполне аналогично, то мы рассмотрим только один из них, например случай, когда

Таким образом, мы предполагаем, что при (но при этом не равны нулю тождественно).

Определение. Пусть луч (полупрямая), имеющий своим началом точку О и проходящий через точку траектории Если луч при стремится к некоторому предельному положению — лучу то мы будем говорить, что при траектория стремится к состоянию равновесия О в направлении , где угол между положительным направлением оси абсцисс и лучом (рис. 40). (Угол определяется, конечно, с точностью до соответствующего кратного

Из данного выше определения непосредственно следует, что если полутраектория стремится к состоянию равновесия в направлении 0, то существует (конечный или бесконечный)

предел отношения причем этот предел равен

Знания одного только числа к еще недостаточно для того, чтобы определить, в каком именно направлении полутраектория стремится к состоянию равновесия О. Действительно, соотношению удовлетворяют два (взаимно противоположных) направления.

В дальнейшем при рассмотрении сложных состояний равновесия мы часто будем говорить об отыскании траекторий, стремящихся к состоянию равновесия с угловым коэффициентом, или наклоном, k.

Рис. 40

При этом мы будем иметь в виду как траектории, стремящиеся к рассматриваемому состоянию равновесия в направлении 0, так и траектории, стремящиеся в направлении

Поставленный выше вопрос о существовании для луча предельного положения можно рассматривать как вопрос осуществовании касательной в точке О у кривой, представляющей собой траекторию дополненную точкой Наряду с этим можно рассматривать вопрос о существовании предельного положения касательной к траектории в точке

Можно показать, что в случае, когда они существуют, они совпадают (см. также § 4).

Для кривых, не являющихся траекториями, данное утверждение, вообще говоря, несправедливо. Рассмотрим, например, кривую, заданную уравнениями

Эта кривая имеет касательную в каждой точке, в том числе с абсциссой однако касательная в точке с абсциссой х не стремится, как легко видеть, ни к какому предельному положению при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление