Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Замечания о методах установления характера грубых состояний равновесия.

Указанный в предыдущем параграфе характер состояний равновесия в случаях I—III может быть установлен различными методами.

В случаях I и III (узел и фокус) качественная структура состояния равновесия может быть установлена, если заметить, что в окрестпости этих состояний равновесия окружности (или в случае III — эллипсы) являются циклами без контакта, которые все траектории пересекают, входя внутрь при (рис. 37, а, б) (или выходя из них при

Рис. 37

При этом узел или фокус имеют одинаковую качественную структуру в смысле введенного в § 14 гл. 1 определения» Качественный характер состоянияравновесия в случае II (седло) может быть установлен с помощью естественного выделения в окрестности этого состояния равновесия дуг без контакта, изображенных на рис. 38. Непосредственное рассмотрение поведения траекторий при наличии таких дуг без контакта с последующим доказательством единственности в каждом из треугольников «разделяющей» (сепаратрисы) полностью устанавливает качественно характер состояния равновесия в этом случае [12,131].

Сведения о других методах исследования состояний равновесия в случаях I—III можно получить в [12] (где указана и соответствующая литература). См. также [116—118],

Отметим, что в случаях I—III качественная структура состояния равновесия определяется линейными членами правых частей системы, и эта структура такая же, как и у соответствующей линейной системы, получающейся из системы (А) отбрасыванием нелинейных частей.

Состояния равновесия типа I—III мы будем в дальнейшем называть грубыми состояниями равновесия.

Как уже указывалось, состояния равновесия типа I и III (узел и фокус) имеют одинаковую качественную структуру: все траектории, проходящие через достаточно малую окрестность состояния равновесия О, стремятся к О в зависимости от знака и а при или

Рис. 38

Однако характер стремления к состоянию равновесия в случае I (узел) и в случае III (фокус) различен (откуда и различие в названиях этих состояний равновесия).

В следующем параграфе будет указано, что в случае III (фокус) траектории ведут себя как опирали. В § 7 будет указано, что в случае I траектории стремятся к состоянию равновесия в определенном направлении (см. § 7).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление