Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Теорема существования и единственности решения.

Так как мы предположили, что функции и в области являются аналитическими функциями, во всех точках области очевидно обеспечены условия, при которых справедлива теорема существования и единственности решения системы (А).

Мы сформулируем эту теорему применительно к системе (А). При этом, говоря о решении системы (А), будем здесь, как и всюду в дальнейшем, подразумевать решение, продолженное на максимально возможный интервал значений решение, продолженное до границы области определения правых частей системы дифференциальных уравнений).

Теорема 1 (о существовании и единственности решения системы (А)). Какие бы значения из области определения функций и мы ни взяли, при любом существует единственное решение системы (А), т. е. пара функций

таких, что выполняются тождества

и удовлетворяются начальные условия

При этом функции определены для всех значений в некотором определенном интервале содержащем В частности, решение может быть определено при всех значениях т. е. может быть, что х равно равно

В силу того, что по самому определению интервала решение на этом интервале продолжено до границ области определения правых частей системы, нетрудно убедиться, принимая во внимание специфический характер («цилиндричность») области пространства (в которой должны рассматриваться правые части системы в справедливости следующей теоремы.

Теорема 2. Если рассматриваемое решение системы (А)

таково, что при всех из интервала точка все время остается в ограниченной замкнутой области целиком содержащейся в области (в которой определены правые части системы то обязательно

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление