Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Приведение динамической системы к каноническому виду.

При рассмотрении характера простых состояний равновесия линейные члены в системе (А) надлежащим образом выбранным неособым линейным преобразованием

(т. е. преобразованием, у которого приводятся к возможно более простому, так называемому «каноническому» виду. Посмотрим прежде всего, при каких условиях надлежащим преобразованием (1) можно привести систему (А) к виду (невыписанные члены содержат в степени не ниже второй)

Подставляя в (2) выражения (1) для а затем заменяя через их выражения из (А), мы, очевидно, получаем тождества. Приравнивая в этих тождествах коэффициенты при линейных членах, получаем следующие четыре линейных однородных уравнения относительно коэффициентов искомого линейного преобразования:

Эти уравнения дают для решения, не равные тождественно нулю, только в том случае, когда являются корнями уравнения

которое называется характеристическим. Корни и называются характеристическими корнями состояния равновесия (особой точки).

Рассмотрим различные случаи, которые здесь могут представиться.

1. Корни и действительны и различны. Тогда из уравнений (3) можно найти такие, что следовательно, приведение динамической системы (А) к виду (2) возможно.

2. Корни кратные, . В этом случае приведение к виду (2), вообще говоря, невозможно. Однако в этом случае можно указать неособые преобразования, с помощью которых система приводится к виду

(В частных случаях может быть равно нулю.) Этот вид называется каноническим в случае кратных корней.

3. Корни и комплексные сопряженные: может как быть, так и не быть равным нулю). В этом случае при действительных мы получим комплексные сопряженные так что приведение к виду (2) невозможно. В этом случае, вводя новые переменные нетрудно установить, что система может быть приведена к следующему виду:

который в этом случае считается каноническим видом. Дополнительно отметим, что если рассмотреть линейную систему

которая получается из системы (А) отбрасыванием нелинейных членов, то, как известно, общее решение этой системы имеет вид

Здесь являются корнями того же характеристического уравнения (4).

Характеристические корни не меняются при линейной замене координат (характеристические

корни являются инвариантами линейного преобразования координат), т. е. пусть дана система

у которой характеристические корни Пусть после линейного преобразования

мы получаем систему в новых координатах

Тогда характеристические корни последней системы, т. е. корни характеристического уравнения

равны

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление