Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Случай конечного числа особых траекторий. Элементарные ячейки.

Будем теперь рассматривать систему (А) только в ограниченной области плоскости Предположим, что

оистема (А) в области имеет только конечное число особых траекторий и полутраекторий.

Особые траектории разделяют область на частичные области, точки которых являются точками неособых (орбитно-устой-чивых) траекторий. Граница каждой такой частичной области состоит из точек особых траекторий и точек, граничных для области Мы ограничимся здесь рассмотрением таких областей, в границу которых не входят граничные точки Такие области будем называть элементарными ячейками (или просто ячейками). Очевидно, ячейки состоят из целых орбитно-устойчивых (т. е. неособых) траекторий. Нетрудно видеть на основании теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений, что граница всякой ячейки состоит из целых особых траекторий. Точки одной и той же особой траектории могут быть граничными для нескольких ячеек. На основании того, что число особых траекторий конечно, нетрудно показать, что число ячеек в области конечно.

Более детальное изучение поведения неособых траекторий одной и той же ячейки опирается на следующие вспомогательные предложения, вытекающие из определения орбитной устойчивости и предложения о конечном числе особых траекторий.

I. Вокруг каждой точки орбитно-устойчивой полутраектории стремящейся к состоянию равновесия О, всегда можно указать такую окрестность, чтобы все проходящие через точки этой окрестности траектории были орбитно-устойчивыми при и стремились к тому же состоянию равновесия О, что и Вокруг каждой точки полутраектории имеющей отличную от состояния равновесия предельную траекторию, всегда можно указать такую окрестность, что все проходящие через точки этой окрестности траектории орбитио-устойчивы при и при имеют то же предельное множество, что и

III. Вокруг каждой точки замкнутой орбитно-устойчивой траектории существует такая окрестность, что все проходящие через точки этой окрестности траектории замкнуты и одна лежит внутри другой.

Опираясь на эти вспомогательные предложения, можно доказать ряд теорем, полностью характеризующих поведение траекторий одной и той же ячейки.

Теорема 13. Если все траектории, принадлежащие одной и той же ячейке, не замкнуты, то они имеют одни и те же и -предельные множества.

Теорема 14. Если внутри какой-нибудь ячейки существует хоть одна замкнутая траектория, то все траектории этой ячейки замкнуты, одна лежит внутри другой и между любыми двумя траекториями этой ячейки не могут лежать точки, не принадлежащие этой ячейке.

Установленные в теоремах факты можно наглядно охарактеризовать словами: внутри каждой ячейки неособые траектории ведут себя одинаковым образом.

Особые траектории являются либо предельными, либо разделяющими.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление