Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Возможные типы особых и неособых траекторий.

Приведем основные общие теоремы об особых траекториях.

Теорема 10. Всякая траектория, являющаяся предельной для какой-либо отличной от нее траектории, является особой, т. е. орбитно-неустойчивой.

Действительно, если траектория является сопредельной для отличной от нее траектории то в случае, когда состояние равновесия, на заведомо существуют точки, находящиеся на не равном нулю расстоянии от а в случае, когда не является состоянием равновесия, то на также существуют точки, лежащие на не равном нулю расстоянии от (в силу теоремы 5), т. е. траектория либо при возрастании либо при убывании выходит из некоторой -окрестности

Теорема 11. Незамкнутая полутраектория имеющая среди своих предельных точек отличные от состояния равновесия, орбитно-устойчива.

Теорема 12. Замкнутая траектория является орбитно-устойчивой тогда и только тогда, когда через точки сколь угодно малой ее окрестности, лежащие как внутри так и вне проходят отличные от замкнутые траектории (так что траектория не является предельной ни для одной незамкнутой траектории).

В теоремах 11 и 12 рассмотрены полутраектории типа 2), 4) и 5) § 5. Пусть -полутраектория типа 3), т. е. полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия, тогда:

Полутраектория стремящаяся к состоянию равновесия, является орбитно-неустойчивой в том и только в том случае, когда существует отрицательная полутраектория стремящаяся при к тому же состоянию равновесия, которая вместе с полутраекторией ограничивает седловую область (рис. 27).

Рис. 27

Орбитно-неустойчивая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия (безразлично, простому или сложному), называется сепаратрисой. В случае, когда сепаратриса является положительной полутраекторией, она называется -сепаратрисой, в случае, когда она является отрицательной полутраекторией, -сепаратрисой.

Приведенные теоремы позволяют сделать исчерпывающие заключения относительно того, какие полутраектории, а следовательно, и какие траектории орбитно-неустойчивы. Именно, всякая орбитно-неустойчивая (т. е. особая) траектория принадлежит к одному из следующих типов:

1) состояние равновесия;

2) предельный цикл;

3) незамкнутая траектория, у которой хотя бы одна полутраектория является сепаратрисой какого-нибудь состояния равновесия.

К числу особых траекторий причисляются все состояния равновесия (даже в том случае, когда они орбитно-устойчивы, как, например, вслучае, когда состояние равновесия есть центр).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление