Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Цикл без контакта.

Пусть С — гладкая простая замкнутая кривая, лежащая в области Мы будем говорить (так же, как и в случае простой дуги), что кривая С в некоторой своей точке не имеет контакта, если проходящая через точку траектория системы (А) не касается кривой С в этой точке, и будем говорить, что кривая С в точке имеет контакт, если проходящая через точку траектория в этой точке касается кривой С.

Гладкая простая замкнутая кривая С называется циклом без контакта, если: а) на С не лежит ни одно состояние равновесия системы; б) ни в одной своей точке кривая С не имеет контакта (рис. 20).

Рассматривая либо параметрические уравнения простой замкнутой кривой С, либо ее уравнения в декартовых координатах, можно аналитически записать условия того, что рассматриваемая замкнутая кривая С является циклом без контакта, полностью аналогичные условиям (1) и (3).

В некоторых случаях роль цикла без контакта может играть «обобщенный цикл без контакта» или «цикл однократного пересечения». Мы скажем, что простая замкнутая кривая С (эта кривая может и не быть гладкой) есть цикл однократного пересечения для траектории системы (А), если: а) на кривой С не лежит ни одно состояние равновесия; б) у всякой траектории, при проходящей через какую-нибудь точку кривой С, точки, соответстующие достаточно близким к значениям лежат внутри С, а точки, соответствующие достаточно близким к значениям вне цикла С. В частности, например, гладкая простая замкнутая кривая, не являющаяся циклом без контакта, является циклом однократного пересечения в том случае, когда в некоторых своих точках она имеет точки сокрикосновения четного порядка с траекториями, и во всех других точках не имеет контакта. Очевидно, если цикл однократного пересечения является гладким и

— его уравнение, то в точках этого цикла выражение

может обращаться в нуль.

Рис. 20

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление