Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11. Что значит «найти решение динамической системы»?

Если математической моделью реальной физической системы является динамическая система вида (А), то представляется возможным с помощью этой системы проследить изменение состояний рассматриваемой реальной системы при изменении времени Именно, в силу теоремы 1 задание начальных значений однозначно определяет решение для всех значений (т. е. однозначно определяет «прошлое» и «будущее»). Говорят, что для этого нужно только «найти решение» или проинтегрировать систему (А). Однако слова «найти решение», «проинтегрировать динамическую систему» без дополнительного уточнения не имеют смысла. Действительно, если под интегрированием системы (А) понимать нахождение аналитического выражения для решений, то естественным образом встает вопрос: каков характер аналитического выражения и каковы вообще те требования, которые можно предъявить к такому аналитическому выражению?

Известно, что выразить решение системы (А) через элементарные функции или через интегралы от элементарных функций (решить систему (А) «в квадратурах») возможно лишь в случае частных типов этой системы.

Аналитический вид решения очень хорошо известен в случае линейных систем (А). Однако далеко не всякая физическая система может быть хотя бы приближенно описана линейной системой. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. Можно ставить задачу нахождения решения не в элементарных функциях и «в квадратурах», а в виде рядов, равномерно и абсолютно сходящихся. Однако в некоторых случаях эти ряды сходятся столь медленно, что ими практически невозможно пользоваться. К вопросу нахождения решения можно также подойти совсем иначе: именно, можно отказаться

от отыскания аналитических выражений для решений и, задавая с той или иной степенью точности некоторые начальные значения, приближенно вычислять решения на заданном промежутке значений. При наличии современных вычислительных машин такое приближенное вычисление решений играет очень большую роль и для некоторых задач может дать фактически исчерпывающий ответ. Однако в целом ряде случаев, пожалуй, даже в большинстве случаев, такой «слепой счет» ни в какой мере не может дать удовлетворительного решения задачи.

Кроме того, для многих задач представляет интерес не аналитический вид решения и не приближенное вычисление решений, а, например, ответ на следующие вопросы: каково число состояний равновесия у данной динамической системы, и устойчивы они или нет; существуют, ли замкнутые траектории, сколько их и как они расположены?

Таким образом, стремясь уточнить понятие «интегрирования динамической системы (А)», мы должны прежде всего внести ясность в вопрос о том, какими свойствами решений динамической системы мы интересуемся.

При рассмотрении задач небесной механики возникло понятие качественного интегрирования, или качественного исследования, динамической системы. Это понятие оказалось впоследствии чрезвычайно важным также и для задач «земной» физики, в частности радиотехники, теории регулирования, а также многих других областей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление