Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Особые траектории сшитых систем.

Рассмотрим теперь вопрос об особых траекториях сшитых динамических систем. Очевидно, все особые траектории каждой из частичных систем целиком лежащие в этих областях (состояние равновесия, предельные циклы сепаратрисы состояний равновесия, лежащие в являются особыми траекториями сшитой динамической системы. Кроме того, рассмотрим другие особые траектории склеенной системы.

а) Состояния равновесия О какой-либо из систем определенной в области лежащие на линии склейки I, граничной для При этом здесь возможны следующие два случая:

a) точка О является состоянием равновесия как для системы так и для системы является общей границей для областей в которых соответственно определены системы в этом случае мы получаем склеенное состояние равновесия;

Рис. 188

Рис. 189

простейшие примеры — склеенный фокус (рис. 188) и склеенное седло рис. 189 (в обоих случаях траектории, стремящиеся к О и в области и в области стремятся к О при );

а) точка О является состоянием равновесия только для одной из систем например для системы тогда к такому состоянию равновесия траектории в области для которой дуга I также является граничной, могут стремиться («втыкаться») при конечных значениях

б) Точки дуги сшивания I, являющиеся точками стыка траекторий двух систем и (определенных в областях

и для которых I является общей граничной дугой). В том случае, когда в силу заданного доопределения эти точки рассматриваются как неподвижные точки (точки покоя), они, очевидно, заполняют целую дугу (рис. 190). При сделанных предположениях относительно частных систем и линий сшивания (системы предполагаются аналитическими и линии сшивания — также аналитическими) таких дуг неподвижных точек может существовать только конечное число.

в) В случае сшитого предельного цикла некоторые из траекторий, продолженные в силу заданного закона сшивания, могут после одной или нескольких прохождений через линии сшивания прийти в исходную точку, т. е. замкнуться.

Пусть такая сшитая замкнутая траектория (рис. 191,а). Если все траектории, проходящие через некоторую достаточно малую окрестность стремятся к (т. е. при возрастании входят и уже больше не выходят из -окрестности сколь бы мало ни было то естественно считать устойчивым предельным циклом.

Рис. 190

Рис. 191

Очевидно, естественно может возникнуть сложный сшитый предельный цикл, в частности двукратный.

В случае, когда имеет место доопределение на линии сшивания со скачками, также, очевидно, возможен сшитый предельный цикл со скачками.

В некоторых задачах возможны предельные циклы, содержащие отрезок скользящих движений (см. рис. 191, б). рассмотрен ряд задач, в которых есть сшитые предельные циклы указанных типов. Эти задачи рассмотрены путем построения точечных отображений и при этом в параметрической форме. Отметим, что рассматриваемые при этом диаграммы Ламерея состоят из двух функций соответствия.

г) Если сепаратриса состояния равновесия О пересекает линию сшивания и имеет продолжение (в силу данного доопределения на линии сшивания), то эту сепаратрису (и все ее возможные продолжения) будем называть сшитой сепаратрисой (или просто сепаратрисой) рассматриваемой сшитой системы. Сепаратриса, очевидно, является особой траекторией.

д) Пусть траектории систем определенные в областях имеющих общую дугу сшивания касаются этой дуги в некоторой точке (в силу сделанного соглашения системы определены в областях, содержащих замыкание следовательно, в некоторой окрестности дуги I) и в силу доопределения на линии сшивания I эта точка считается неподвижной.

Рис. 192

Тогда мы можем получить, например, неподвижные точки типа:

1) сшитый фокус — квазифокус (рис. 192, а);

2) сшитое седло — квазиседло (рис. 192, б).

В случае 2) части траекторий, касающихся дуги аналогичны сепаратрисам.

В окрестности этих сшитых неподвижных точек качественная структура фазового пространства будет тождественна (в обычном смысле) разбиению в окрестности обычного фокуса и соответственно обычного седла. Однако поведение траекторий в зависимости от очевидно, другое (траектории стремятся к неподвижной точке О в конечное время).

е) Особой траекторией иногда естественно также считать траекторию, совпадающую целиком (или частично) с линией

склейки. Такой траекторией, в частности, является траектория скользящих движений.

Не ставя своей целью (такая цель вообще вряд ли достижима и имеет смысл) перечислить все возможные случаи доопределения, и в соответствии с этим — все возможные типы особых траекторий, приведем все же чисто геометрические примеры, когда у сшитой системы роль особой траектории играет континуум траектории.

Так, например, отрезок особых точек (рис. 193, а) (граничные для отрезка точки — состояния равновесия одной из систем) играет роль, аналогичную фокусу. На рис. 193, б представлен случай, когда область, заполненная замкнутыми траекториями, играет роль элемента притяжения (очевидно, такая область может также играть роль элемента отталкивания) для других траекторий. На рис. 194 представлены некоторые возможные случаи, когда континуум траекторий, лежащий между сшитыми сепаратрисами, вместе с этими граничными сепаратрисами аналогичен сепаратрисам аналитического седла.

Рис. 193

Рис. 194

На рис. 194, а-б представлено образование, аналогичное седлу, сшитое из двух сдвинутых аналитических седел с отрезком притяжения (соответственно отталкивания) для континуума траекторий (в обоих случаях концы отрезка притяжения (соответственно отталкивания) являются состояниями равновесия одной из сшиваемых

систем). На рис. 194, в-г - образование, аналогичное седлу, сшитое из обыкновенных траекторий с отрезком неподвижных точек (на концах этого отрезка нет состояний равновесия). На рис. 195 отрезок неподвижных точек вместе с некоторой окрестностью аналогичен седло-узлу. На рис. 196, а - аналог двукратной точки, для которой (см. гл. 4); на рис. 196, б — аналог седло-узла.

Этими примерами мы здесь ограничиваемся.

Если в рассматриваемых дальнейших конкретных примерах сшитых систем встретятся еще другие случаи доопределения или другие возникающие при сшивании особенности, то мы обсудим их также при рассмотрении соответствующей конкретной сшитой задачи.

Рис. 195

Рис. 196

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление