Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1. Сшитые системы. Доопределение на линиях сшивания.

В настоящей главе мы дадим определение кусочно-сшитых систем и укажем некоторые их основные свойства.

При этом мы ни в какой мере не претендуем на полное описание всех возможных типов кусочно-сшитых систем и их свойств (что и вообще вряд ли имеет смысл), а выделяем лишь некоторые, наиболее часто встречающиеся в прикладных задачах.

Система

определенная в некоторой области плоскости (область может, в частности, совпадать со всей плоскостью , называется сшитой системой (или кусочно-сшитой, или кусочно-склеенной системой), если:

1. Задано разделение области на конечное число подобластей границы которых состоят из конечного числа:

а) линий, уходящих в бесконечность (в частности прямых);

б) простых замкнутых кривых;

в) простых дуг

При этом подразумевается, что линии и простые замкнутые кривые не имеют общих точек, а простые дуги могут иметь общими с линиями, простыми замкнутыми кривыми и друг с другом только свои концы.

Линпи, замкнутые кривые и простые дуги предполагаются аналитическими, т. е. если параметрические уравнения линии, замкнутой кривой, дуги I, то функции являются аналитическими функциями

Границы областей называются линиями сшивания (или линиями склейки).

2. В каждой частичной области вместе с ее границей (т. е. в замкнутой области определена частичная аналитическая динамическая система

Точнее, система задана, и правые части ее являются однозначными аналитическими функциями в некоторой области целиком содержащей система как бы «отрезана» вдоль границы

Таким образом, на всякой линии сшивания, общей для двух областей определена как система так и система Однако данная сшитая система может быть определена на линии сшивания совсем особым образом (она может быть отлична и от системы и от системы . В каждой внутренней точке любой области склеенная система (А) совпадает с системой

3. На границах областей т. е. на линиях сшивания, система (А) специально доопределяется (в зависимости от условий той реальной задачи, которая описывается рассматриваемой сшитой системой).

При сделанных нами предположениях относительно аналитичности частичных систем и аналитичности линий, входящих в границы областей очевидно, справедливы следующие утверждения.

Всякая простая дуга I, входящая в границу какой-либо области (которая может быть либо частью уходящей в бесконечность граничной линии, либо дугой граничной замкнутой кривой):

1) может быть дугой без контакта для траекторий системы определенной в области (для которой она является граничной), но может не быть дугой без контакта для траекторий системы определенной в отличной от области (для которой I также является граничной дугой);

2) может иметь конечное число точек касания с траекториями системы

3) может совпадать с траекторией (полутраекторией, дутой траектории) системы (А).

Такой участок траектории называют отрезком скользящего движения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление