Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Двумерная модель динамики твердотельного лазера [119].

Система дифференциальных уравнений

при некоторой идеализации описывает динамику оптического квантового генератора с управляемой добротностью резонатора.

По физическому смыслу задачи рассматриваются область фазового пространства и параметры, удовлетворяющие условиям

Координаты состояний равновесия находим, приравнивая нулю правые части системы (1):

Исключая из этих уравнений для абсцисс состояний равновесия получаем

Ординаты же состояний равновесия однозначно определяются абсциссами:

Из (3) следует, что система (1) при всех рассматриваемых значениях параметров всегда имеет одно состояние равновесия с координатами

и не может иметь более трех состояний равновесия. Кроме уравнение (3) имеет еще два корня

(первый индекс 2 соответствует знаку плюс перед радикалом, второй знаку минус), являющихся в случае, когда они действительны, абсциссами двух других состояний равновесия системы (1): В дальнейшем, изучая разбиение пространства параметров на области с различной качественной структурой, естественно рассматривать характер разбиения квадранта плоскости соответствующего при различных

значениях На плоскости точкам прямой

очевидно, соответствуют системы (1), имеющие двукратное состояние равновесия с равной нулю координатой а точкам кривой (параболы)

— системы, имеющие двукратное состояние равновесия, получающееся от слияния состояний равновесия и . Исследуя уравнение параболы обычными методами, нетрудно видеть, что при она расположена вне рассматриваемого квадранта плоскости гео, а при в этом квадранте.

Кроме того, как нетрудно видеть, при корень отрицателен, и, следовательно, у системы (1) при при значениях выше прямой - два состояния равновесия, а ниже — одно —

В случае для области значений система (1) имеет одно состояние равновесия — а для области значений, где (ниже прямой -три состояния равновесия 0з- Прямая (7) в этом случае, очевидно, также соответствует системам с кратными состояниями равновесия. Общая точка параболы (8) с прямой соответствует динамической системе с трехкратным состоянием равновесия и делит прямую (7) на две части соответствует слиянию слиянию На рис. 162—164 цифрами 7, 77, III указаны соответственно области плоскости параметров, при которых система имеет одно, два и три состояния равновесия с координатой

Рассмотрим теперь вопрос о характере состояния равновесия системы (1). Если не учитывать различия между узлами и фокусами, то границами в пространстве параметров, определяющими области различного характера состояний равновесия и различной устойчивости узлов и фокусов, являются

где вместо тип подставляются координаты соответствующих состояний равновесия. Из (9) мы, очевидно, получим (после некоторых преобразований) те же условия (7) и (8), соответствующие наличию у системы кратного состояния равновесия.

Рис. 162

Рис. 163

Рис. 164

Для того чтобы получить на плоскости кривую, соответствующую (смене устойчивости), нужно исключить из уравнений

Однако такое исключение весьма сложно, и проще получить параметрические уравнения этой кривой. Исключая из

получаем

и, полагая в с помощью (10) и (12) выражаем через параметр):

Кривую на плоскости определенную равенствами (13), или, что то же, уравнениями (11), будем обозначать через Исследование характера этой кривой при различных даны в приложении I. Некоторые основные случаи ее характера и расположения относительно кривой даны на рис. 162—164. Из исследования в приложении I следует, что: 1) кривая имеет ветви, уходящие в бесконечность при и то и при имеет асимптоту (штриховая прямая на рис. 164); 2) при кривая имеет одну общую точку с кривой

соответствующую значению Нетрудно убедиться на основании выражений (9) и (10), что:

A) Состояние равновесия седло, когда и устойчивый узел, когда

Б) В случае состояние равновесия для которого всегда сложный фокус. В случае состояние равновесия, в котором есть сложный фокус для (т. е. для ветви кривой и седло для (т. е. для ветви кривой S).

B) При для значений параметров, соответствующих точке система имеет двукратное состояние равновесия, для которого Это состояние равновесия рассмотрено в § 4 гл. 10. В точке кривая касается кривой (это вытекает из сказанного в § 3 гл. 11 и может быть также получено непосредственно, если для параболы, как и для кривой найти параметрические уравнения). Точкой кривая разделяется на две части. Точки одной соответствуют системе (1), имеющей седло-узел с устойчивой узловой областью, а точки другой части — с неустойчивой узловой областью. На рис. 162—164 штрихами указаны области, где состояние равновесия соответственно устойчиво и неустойчиво Очевидно, при переходе в плоскости гсог) через кривую системы (1) возможно рождение предельных циклов, на котором мы остановимся ниже.

Предельные циклы. Покажем сначала, что существует замкнутая область в фазовом пространстве, содержащая все состояния равновесия, внутрь которой входят траектории системы. Действительно, рассматривая прямые , можно показать, что все траектории входят внутрь полосы, ограниченной этими прямыми.

Рассматривая поле направлений на прямой где некоторая положительная постоянная, для получаем, что траектории пересекают эту прямую сверху вниз. Таким образом, для существование замкнутой области показано, а для необходимо еще рассмотреть поле направлений на прямой Выбирая достаточно большим, можно убедиться, что на интервале траектории пересекают эту прямую справа налево, т. е. по-прежнему существует область, внутрь которой входят все траектории системы (1).

Принимая во внимание тот факт, что существуют значения параметров, при которых система имеет одно состояние равновесия, лежащее на интегральной прямой а также принимая во внимание, что состояние равновесия седло, можно утверждать:

а) если предельные циклы существуют, то они обязательно охватывают состояние равновесия

б) предельных циклов в области значений параметров включая границы — прямую (7) и кривую (8), быть не может;

в) так как существует область фазового пространства, внутрь которой входят все траектории системы и, кроме того, при переходе из области значений параметров II в область II состояние равновесия (лежащее выше интегральной прямой меняет устойчивость, то должен существовать по крайней мере один устойчивый предельный цикл.

Мы покажем, что в некоторых случаях у системы может существовать два предельных цикла. Рассмотрим выражение для первой ляпуновской величины (полученное в приложении II)

где

1) . В этом случае, очевидно, существует не более двух состояний равновесия, седло лежит на прямой очевидно, его сепаратрисы не могут образовать петлю (рис. 165).

Возможны два случая:

а) . Уравнение не имеет положительных корней, при всех .

б) . Граница области устойчивости состоит из двух участков, на одном из которых на другом в точке граничной для этих участков, точках, где при переходе из области, где в область, где системы из фокуса рождается устойчивый предельный цикл, а в точках, где при обратном переходе из области, где в области, где рождается неустойчивый предельный цикл.

Рис. 165

Особенности в поведении системы в окрестности тех значений, при которых можно выяснить, устанавливая знак второй ляпуновской величины Однако мы можем рассмотреть возможности, которые здесь могут иметь место и без вычисления этой величины.

Если, выйдя из достаточно близкой к прямой (7) точки, в которой, как мы уже говорили выше (см. п. б)), нет предельных циклов, мы перейдем из области в область через участок кривой где то при этом у системы рождается устойчивый предельный цикл. Пока мы не пересечем вновь кривую этот устойчивый предельный цикл сохранится — ему некуда деться (если в области есть точки, соответствующие двукратным циклам, то тогда во всяком случае число устойчивых циклов все время будет на единицу больше, чем неустойчивых). Если затем мы пересечем границу на части ее, где переходя из области в область то при этом у системы из фокуса рождается неустойчивый предельный цикл, устойчивый же сохраняется, и таким образом теперь у системы есть устойчивый и неустойчивый предельные циклы (или одинаковое число и тех и других).

Если, не пересекая кривую мы вернемся в область вблизи прямой (7), где нет предельных циклов, то мы непременно должны пройти через значения параметров, при которых эти предельные циклы исчезают. Следовательно, должна быть бифуркация, при которой устойчивый и неустойчивый циклы сливаются, образуя четнократный цикл, который затем исчезает. Непременно существует, следовательно, в области параметров, где бифуркационная кривая упирающаяся в точку соответствующая четнократному циклу (см. рис. 162).

Возможные качественные структуры на фазовой плоскости представлены на рис. 165.

2) . В этом случае у кривых есть общая точка (предположим, что она лежит на части где

Рис. 166

При значениях соответствующих этой точке, у системы есть двукратное состояние равновесия, для которого

Бифуркации такой точки описаны в гл. 10. В частности, при бифуркациях такой точки (при наличии двух независимых параметров) всегда появляется петля сепаратрисы, а также предельный цикл (см. рис. 105 гл. 10).

На плоскости существует упирающаяся в точку бифуркационная кривая соответствующая петле сепаратрисы (см. рис. 108 гл. 11).

Существование такой кривой, т. е. существование петли сепаратрисы у системы (1) при некоторых значениях можно также установить, не опираясь на рассмотрение § 4 гл. 10, рассматривая возможное поведение двух сепаратрис седла (по расположению изоклин, а также по характеру состояний равновесия вблизи участка кривой и переходя при непрерывном изменении параметров от расположения, представленного на рис. 166, а, к расположению, представленному на рис. 166, б. Здесь также можно установить существование двух предельных циклов, однако соответствующее рассмотрение (более сложное, чем в случае мы здесь не приводим. На рис. 166 представлены некоторые разбиения фазовой плоскости.

Приложение I. Установим возможный характер кривой пользуясь ее параметрическими уравнениями (13):

1. При обе функции стремятся к бесконечности. Нетрудно видеть, что производные

обращаются в нуль не более чем при одном значении (Среди коэффициентов полиномов, стоящих в числителе, только одна перемена знака, а при эти полиномы имеют разные знаки. Следовательно, у кривой только по одной точке, в которых касательная к соответственно горизонтальна и вертикальна. Соответствующие значения мы будем обозначать и

Вид кривой зависит от соотношения между и Вычисляя производную в точке получим (используя условие

Знак этого выражения позволяет судить о соотношении между и тапнпф. Если и Наоборот, если Знак выражения (14) в свою очередь определяется соотношением между и значением при котором числитель выражения обращается в нуль, а соотношение между и определяется знаком (Отметим, что в случае — это значение, при котором кривые имеют общую точку.)

2. Ветвь кривой уходящая в бесконечность при имеет асимптоту (которую просто найти обычным образом) 3)

Значение соответствующее точке пересечения кривой с асимптотой

(оно находится из (9) и (15)), есть

На основании изложенного можно установить характер кривой и ее расположение относительно кривой Рассмотрим некоторые основные случаи.

1) . В этом случае асимптота кривой лежит выше прямой (так а кривая целиком расположена выше асимптоты (так как выражение (16) для отрицательно). Кроме того, откуда следовательно,

Мы имеем случай, представленный на рис. 162.

2) . В этом случае кривые всегда имеют общую точку а асимптота кривой лежит ниже прямой

А) Пусть т. е. кривая имеет общую точку с асимптотой:

а) . Отсюда и

Следовательно, а также Мы получаем расположение, представленное на рис. 163.

б) . Тогда

т. е.

В силу (16) у кривой существует единственная общая точка с асимптотой, и при точки кривой лежат выше асимптоты, а при ниже. Но тогда, принимая во внимание (17), нетрудно видеть, что кривая непременно должна иметь не менее одной точки самопересечения. Можно показать, что эта точка единственная. Действительно, для значений соответствующих точке самопересечения

Подставляя сюда выражения для после элементарных преобразований и сокращения на получаем

Вычитая из (19) домноженное на и находя из получившегося выражения и из получаем

Отсюда следует, что для существования точки самопересечения необходимо, чтобы были положительными корнями квадратного уравнения

Очевидно, не может существовать более двух значений, удовлетворяющих (20), и следовательно, более одной точки самопересечения (см. рис, 164).

Б) Пусть выполняется условие

Можно показать, что кривая расположена целиком ниже асимптоты и не самопересекается.

Приложение II. Для вычисления ляпуновской величины в случае, когда сложный фокус, приведем систему (1) в окрестности к стандартной форме. Пусть координаты состояния равновесия Полагая запишем систему (1) в новых переменных:

новый параметр).

Путем элементарных вычислений получаем

Подставляя значения коэффициентов в формулу для первой ляпуновской величины воспользуемся очевидными соотношениями

Учитывая условия получаем после элементарных вычислений по формуле для гл. 11 и отбрасывания индекса

где

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление