Главная > Разное > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической системе.

Если разделить одно из уравнений (А) на другое, то мы получим либо дифференциальное уравнение

либо дифференциальное уравнение

Если точка области для которой то в силу теоремы о существовании и единственности решения существует единственное решение дифференциального уравнения (А), соответствующее начальным значениям

Уравнение (4) является уравнением в декартовых координатах траектории проходящей через точку (в окрестности этой точки). Оно, очевидно, может быть получено из решения системы соответствующего траектории исключением (в окрестности точки ).

Если точка, в которой но то можно использовать уравнение Точки, в которых

одновременно называются особыми точками уравнений

Одновременное задание уравнений определяет все траектории системы (А), отличные от состояний равновесия. Но, в то время как из системы (А) уравнения траекторий находятся в параметрической форме, из дифференциальных уравнений они находятся в декартовых координатах. Вместо написания двух уравнений часто используются следующие симметричные относительно х а у записи:

или

Уравнения определяют угловой коэффициент касательной к траектории, который в каждой точке может быть намечен с помощью ненаправленного отрезка (в то время как система (А) в каждой точке определяет вектор). Так, уравнение или пара уравнений задают поле «линейных элементов».

Кривые

постоянные), во всех точках которых направление касательных к траекториям одинаково, называются изоклинами (линиями равного наклона) системы (А) (или уравнения . В частности, при мы получаем кривую изоклину горизонтальных наклонов, а при кривую Р(х,у) изоклину вертикальных наклонов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление