Главная > Разное > Математическая биофизика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Проблема выбора единого кода

Итак, мы рассмотрели два этапа эволюции, в результате которых были построены первичные объекты — комплексы биспираль — белок с окружающими их адаптерами-слепками, способные к

достаточно интенсивной авторепродукции и наследованию свойств. Можно сказать, что при этом уже образуется свой код для каждого отдельного объекта (и для совокупности тождественных объектов), однако, единого кода для всей биосферы еще нет. Он возникает на следующем этапе — в результате отбора.

На третьем этапе эволюции — этапе возникновения единого кода — главную роль играет взаимодействие популяций. Последнее может быть обусловлено двумя причинами: конкуренцией за питательный субстрат (если его приток ограничен) и прямым антагонизмом. Проблемы отбора на уровне конкурирующих гиперциклов в теории эволюции решаются методами математического моделирования.

Сформулируем прежде всего цель, которую в данном случае преследует математическое моделирование. Она состоит в том, чтобы дать ответ на следующие вопросы.

1. Может ли в результате взаимодействия образоваться «чистая» популяция, обладающая одним вариантом кода, если вначале имеется смешанная популяция, в которой присутствуют гиперциклы с различными вариантами кода?

2. Происходит ли в этом процессе выбор одного варианта из нескольких возможных (т. е. возникновение информации) или же происходит отбор одного выделенного варианта?

3. Является ли процесс помехоустойчивым, иными словами, сколь существенную роль играют мутации и возможные ошибки в трансляции и репродукции?

В книге Эйгена и Шустера была рассмотрена модель, учитывающая конкуренцию за питательный субстрат (или «жизненное пространство») между всеми гиперциклами (как одинаковыми, так и разными). Модель имеет вид

где — концентрация гиперциклов вида, а функция представляет собой скорость «производства» гиперциклов. Эта же функция входит во второй член уравнения (2.2), который описывает конкурентную борьбу всех особей популяции, в том числе и «внутривидовую» (член — Это обстоятельство сужает рамки модели (делает модель вырожденной), но упрощает ее исследование, поскольку при этом суммарная концентрация всех гиперциклов при не зависит от состава. В модели (2.2) суммарная концентрация принята постоянной (равной что соответствует предположению о том, что процесс установления стационарного состояния по суммарной концентрации протекает значительно

быстрее процесса отбора. Благодаря этому условию число независимых переменных в модели (2.2) равно

В простейшем случае постоянного коэффициента размножения зависимость будет линейной: При этом можно ввести безразмерные концентрации тогда имеем

В случае конкуренции двух типов гиперциклов система (2.3) сводится к логистическому уравнению (штрихи мы опускаем):

Система (2.4) имеет два стационарных состояния: 1) причем устойчиво только одно из них, какое именно — зависит от знака разности при «выживает» только вид (устойчиво состояние 1), при обратном соотношении только вид В каждом из этих случаев все фазовое пространство является областью притяжения одной устойчивой точки, т. е. система унистационарна. Стационарное состояние соответствует «чистой» популяции (вторая при этом полностью вытесняется). Однако результат отбора предопределен заранее заданием преимущества одного из вариантов.

Если априорные преимущества вариантов невелики, т. е. то система вырождается, становится негрубой и некорректной. Сделанные при выводе ее пренебрежения в этом случае не оправданы, и ее следует заменить более общей. Такими же свойствами обладает модель и в более общем случае, т. е. при Таким образом, пренебрежение антагонистическими взаимодействиями приводит к модели, которая не позволяет объяснить отбор одного варианта среди нескольких равноправных.

Модель, учитывающая только антагонистические взаимоотношения, была записана нами в виде

Здесь второй член описывает взаимодействие гиперциклов разного типа (поэтому в сумму не входят члены с Самоограничение (или внутривидовая конкуренция) здесь не учитывается, так как предполагается, что отбор протекает в фазе неограниченного роста. Особый интерес представляет случай, когда все гиперциклы равноправны, т. е. все коэффициенты одинаковы. Тогда введя без

размерные переменные получим

Система (2.6) имеет стационарных состояния. В первом все это состояние неустойчиво и, следовательно, не реализуется. Во втором все концентрации одинаковы; это состояние тоже неустойчиво и бесконечно малые флуктуации переводит решение к одному из устойчивых состояний, в каждом из которых выживает только один тип гиперциклов. Они таковы, что

Рис. 2.3. Фазовый портрет системы (2.6) с антагонистическим взаимодействием (симметричный случай).

Фазовый портрет системы (2.6) при представлен на рис. 2.3. Видно, что точка (1,1) является седлом, через нее проходит сепаратриса, совпадающая, в силу симметрии, с биссектрисой. Развитие процесса во времени описывается движениями по траекториям, которые разделены на два потока: один направлен к состоянию и другой — к состоянию

Таким образом, модель (2.6) описывает образование чистой популяции при любых начальных условиях: в конце процесса образуется единый код, т. е. происходит выбор одного варианта из двух равноправных. Сама возможность выбора определяется тем, что симметричное состояние неустойчиво и сепаратриса делит все фазовое пространство на две части равного объема.

Система (2.5) при не равных, но сопоставимых коэффициентах имеет те же свойства. В случае получим

Фазовый портрет системы (2.7) при приведен на рис. 2.4; он имеет ту же структуру, что и портрет предыдущей системы. Седловая точка имеет координаты т. е. сдвинута в область больших Имеется два устойчивых состояния: соответствующих отбору чистых популяций. Области притяжения этих состояний в данном случае не равны, но сопоставимы по объему.

Рис. 2.4. Фазовый портрет системы (2.7) с антагонистическим взаимодействием (несимметричный случай).

Результат процесса отбора зависит от начального состояния, т. е. от положения изображающей точки в начальный момент.

Вероятность попадания ее в область I (или II) зависит от соотношения параметров, но не очень сильно — она определяется отношением объемов областей притяжения. В предельном случае при любом начальном условии выбор предопределен и реализуется только один вариант При этом сепаратриса ложится на абсциссу и все фазовое пространство становится областью притяжения состояния

На примере рассмотренных моделей (2.3) и (2.5) можно пояснить разницу между выбором и отбором на математическом языке. Под словами «естественный отбор» (по Дарвину) обычно понимают выживание «наилучшего» (наиболее приспособленного) варианта и отмирание всех остальных. Предполагается, что результат процесса предопределен тем, что один из вариантов является наилучшим. В модели (2.3) это выполняется всегда, так как там «выживает» только наилучший вариант. В модели (2.5) отбор означает стремление к устойчивому состоянию в случае, если система уже находится в области его притяжения, т. е. происходит движение изображающей точки по устойчивой траектории в области I (или в области II), но не по сепаратрисе. Термин «наилучший» в этой модели означает наиболее быстрорепродуцирующий, т. е. обладающий наибольшим значением коэффициента

Слово «выбор» имеет несколько другой смысл. Если рассматриваемая система мультистационарна, т. е. имеет несколько устойчивых стационарных состояний со сравнимыми по объему областями притяжения, отделенными друг от друга сепаратрисами, то под выбором понимается случайный (непредсказуемый) процесс, в результате которого реализуется начальное состояние в той или иной области притяжения (выбор начальных условий). При этом «выживает» не обязательно «наилучший».

Таким образом, преимущества определяются параметрами системы (т. е. коэффициентами репродукции той или иной популяции). Выбором фиксируются начальные условия системы. Отбор можно рассматривать как процесс усиления выбора (доведения его до конца), протекающий с учетом и параметров и начальных условий. Мы специально остановились на этом вопросе, потому что понятие «естественный отбор», употребляемое без должного анализа, оказывается часто двусмысленным.

Вернемся к модели (2.5). Она описывает процесс отбора при неограниченных ресурсах субстрата, поэтому численность «побеждающего» вида стремится к бесконечности. В более реалистическом случае мы должны кроме антагонистических взаимодействий учесть также и конкурентную борьбу всех особей за субстрат. Соответствующую модель можно записать в форме [26]:

Модель (2.8) позволяет исследовать процесс отбора (или выбора) на всех фазах развития (как в экспоненциальной, так и стационарной). Хотя она и не ограничена условием постоянства суммарной концентрации биомассы, она описывает эффект замедления роста и стремления суммарной биомассы к пределу. В случае модель (2.8) приобретает вид

где, по нашему предположению, Отметим, что модель (2.9) является частным случаем системы, исследованной в работах Гаузе (см. ниже формулу (3.2)).

В зависимости от соотношения между коэффициентами система (2.9) описывает два существенно различных варианта отбора. Пусть сначала тогда В этом случае система имеет три стационарных состояния — два неустойчивых: (0,0), (1,0), и одно устойчивое: (рис. 2.5, а). Таким образом, мы имеем в чистом виде отбор наилучшего варианта (заметим, что при выбранных знаках неравенств будет т. е. второй вариант имеет явное преимущество перед первым).

Пусть теперь и Тогда система (2.9) имеет четыре стационарных точки:

Последние две точки устойчивы и соответствуют чистым популяциям.

Рис. 2.5. а) Фазовый портрет системы (2.9): а) в случае слабого антагонизма б) при сильном антагонизме и равных коэффициентах репродукции.

Первые две неустойчивы, из них вторая является седлом, через которое проходит сепаратриса, разделяющая фазовое пространство на две области притяжения (см. рис. 2.5, б). Модель остается корректной при малых различиях коэффициентов и даже при точном равенстве (т. е. при и седловая точка тогда имеет координаты и сепаратриса совпадает с биссектрисой.

Итак, имеющиеся теоретические модели описывают механизм возникновения отбора или выбора «чистого» состояния (единого

кода) как в случае большого селективного преимущества одного варианта, так и в случае малых селективных преимуществ (и даже в отсутствие носледних).

Оценить величину селективных преимуществ первичных гиперциклов сейчас трудно, ясно, однако, что наиболее важные события разыгрывались, когда селективные преимущества были невелики и основную роль играло антагонистическое взаимодействие. Подчеркнем, что в этом случае имеет место возникновение информации (выбор), а не проявление заранее предопределенного варианта (отбор).

До сих пор мы не касались вопроса о роли спонтанных мутаций, т. е. изменений последовательности нуклеотидов в процессе возникновения кода. Случайные изменения последовательности нуклеотидов с точки зрения передачи и запоминания информации являются помехами и, следовательно, вопрос сводится к исследованию помехоустойчивости процесса. Этот вопрос рассматривался в ряде работ [П63, 13, 14, 15] и в несколько упрощенном варианте в [26]. Результаты работ в главном совпадают; мы в изложении будем следовать [26].

В потоке внешних воздействий можно выделить две части: случайную, среднее по времени значение которой равно нулю, и систематическую — с ненулевым средним значением. Методы исследования этих частей несколько различаются. Для исследования роли случайной части необходимо включить в правую часть модели случайную функцию с заданной амплитудой и дисперсией; модель после этого перестает быть чисто динамической. Для исследования систематических помех достаточно дополнить модель членами, учитывающими лишь среднее по времени влияние, модель при этом остается динамической.

Устойчивость процесса отбора по отношению к систематическим помехам зависит прежде всего от уровня помех, т. е. от вероятности мутаций в единицу времени и вероятности ошибочной репликации. Следует учитывать также различие в характере повреждений, вызываемых помехами. При ошибочной редупликации (или в результате мутаций) могут возникнуть как летальные варианты, т. е. гиперциклы с весьма малой репродуктивной способностью, так и гиперциклы, способные к дальнейшему развитию, но отличающиеся от исходного. Характер повреждений зависит от стадии развития. На первой стадии (до возникновения адаптеров) все мутации и ошибки ведут к равноправным вариантам, летальных вариантов нет. На второй стадии, после образования адаптеров, но до возникновения единого кода летальные мутации существенной роли не играют, поскольку сводятся к уменьшению скорости репродукции.

При исследовании устойчивости третьего этапа, т. е. процесса отбора, следует учесть, что при одном и том же уровне помех процесс оказывается более или менее чувствительным к помехам в зависимости от характера модели, в основном, от ее грубости (в смысле Андронова). При этом наиболее важны мутации, которые не ведут к летальному исходу, но изменяют код, т. е. переводят гиперцикл

из одного состояния в другое. Их мы и будем принимать во внимание.

Рассмотрим влияние помех в рамках приведенных выше моделей, учитывая переброс особей из одной популяции в другую. Модель (2.4), описывающая только конкуренцию за субстрат, с учетом мутаций приобретет вид

где а — коэффициент переброса.

В этом случае имеется одно состояние, которое всегда устойчиво. Положение его существенно зависит от отношения которое и определяет помехоустойчивость. В случае, если селекционные преимущества первой популяции достаточно велики стационарное состояние имеет координаты Оно не является чистым, но примесь чуждого элемента мала в меру малости . В случае, когда селекционные преимущества не очень велики стационарное состояние расположено в середине разрешенного отрезка, т. е. при Таким образом, учет мутаций может привести к качественному изменению поведения, что является следствием недостаточной грубости системы (2.10) (и, соответственно, модели (2.3)). Это означает, что процесс отбора вообще не имеет места; он в этом случае не является помехоустойчивым.

Модель с антагонистическим взаимодействием в симметричном варианте (2.6) примет вид

Симметричные состояния здесь, как и прежде, неустойчивы; устойчивыми являются состояния Эти состояния не являются абсолютно чистыми, однако, относительная примесь «чуждой» популяции, т. е. величина стремится к нулю. Таким образом, помехоустойчивость процесса велика.

Модель (2.8) с учетом помех приобретает вид

Здесь, как и выше, считаем, что В случае система (2.12) имеет одно устойчивое состояние при Оно не чистое, но примесь мала в меру малости это совпадает с результатом модели (2.10). В случае (и, следовательно, в случае малых селекционных преимуществ: имеется четыре стационарных точки:

Два последних состояния устойчивы и описывают почти чистые популяции: относительная примесь чуждого элемента мала в меру малости а. Этот результат близок к результату модели (2.11); отличие лишь в том, что там относительная примесь стремится к нулю.

Итак, наличие антагонистического взаимодействия обеспечивает достаточную помехоустойчивость процесса образования единого кода даже в случае весьма малых селективных преимуществ «выбранного» варианта над другими. В отсутствие антагонистического взаимодействия и при малом селективном преимуществе помехи полностью разрушают процесс.

Отметим, что при учете помех ни один процесс не ведет к образованию абсолютно единого кода: неоднозначность сохраняется в малой доле. Уместно упомянуть в этой связи недавно появившиеся данные [16, 17] о наличии в биосфере редких случаев неоднозначности кода. С нашей точки зрения, они свидетельствуют в пользу варианта, учитывающего антагонистические взаимодействия, конкуренцию за субстрат и наличие помех.

Весь процесс от стадии «бульона» до образования объектов единого кода часто связывают с возникновением биологической информации и уменьшением информационной энтропии. Рассмотрим это подробнее.

Для характеристики совокупности объектов различного типа можно ввести величину типа энтропии:

где постоянная Больцмана и статистический вес, т. е. число различных способов, которыми можно осуществить данное состояние. Это число равно

Здесь и, — число объектов типа и полное число объектов. Используя формулу Стерлинга, можно записать уравнение для энтропии в виде

где относительная доля объектов типа. Относительная энтропия (приходящаяся на один объект) равна

Введенная энтропия характеризует степень разупорядоченного состояния лишь по некоторым выделенным степеням свободы, именно по тем, которыми отличаются рассматриваемые объекты (в нашем случае — по положениям нуклеотидов в биспиралях). Эта энтропия не совпадает с физической энтропией, но она связана с полным

количеством информации соотношением

где 1 — информация, заключенная в системе в данный момент, и максимально возможная информация (т. е. информационная емкость). Уменьшение информационной энтропии означает увеличение информации (см. гл. 12).

Нетрудно убедиться в том, что удельная энтропия (2.13) в результате процессов отбора уменьшается и в конце конвергентной эволюции обращается в нуль. Рассмотрим первую стадию. Число мыслимых различных биспиралей длины равно . В случае, если бы самопроизвольно синтезировалось одинаковое количество молекул всех типов, величины были бы порядка и энтропия (2.13) была бы равна

Если смогли синтезироваться не все возможные последовательности, а только из них но то удельная энтропия меньше. В течение процесса отбора (или выбора) энтропия уменьшается, что можно проследить на моделях (2.7) и (2.9). В конце процесса отбора (или выбора) мы имеем состояние, в котором все кроме одного, равного единице. Удельная энтропия такого состояния равна нулю. Физическая энтропия системы (связанная с иными степенями свободы) всегда увеличивается, поскольку процессы термодинамически неравновесны.

Уменьшение энтропии (2.13) в фазе выбора кода означает просто увеличение информации. Оно происходит из-за неустойчивости симметричного состояния. Именно благодаря неустойчивости малые случайные отклонения приводят к большому эффекту.

Таким образом, инициатором возникновения информации здесь можно считать случайность, но на этом этапе она может проявиться благодаря неустойчивости симметричного динамического решения. Вывод о роли неустойчивости является достаточно общим и относится не только к рассмотренной выше конкретной простейшей модели. Например, аналогичная ситуация имеет место при динамическом описании процессов дифференциации ткани. Любая динамическая система, способная к повышению своей информации, должна проходить в своем развитии через неустойчивые состояния.

В заключение этого параграфа обсудим характер информации, возникающей к концу конвергентной фазы. Обычно под биологической информацией понимают записанные в ДНК сведения о структуре и свойствах белков. При этом подразумевается, что одним кодом может быть записана информация о нескольких различных белках, выполняющих различные функции. В нашем случае имеется лишь один сорт белка, и других на этом этапе еще не существует.

Проводя аналогию с лингвистикой, можно сказать, что в современной биосфере на основе единого алфавита записывается много разных слов и их сочетаний. В обсуждаемый момент было записано лишь одно слово и других слов не было. Смысл этого слова (если. можно говорить о смысле одного слова, когда других слов не существует) сводится к понятию «жизнь». На примере этого слова был

выбран единый для всего живого алфавит. Таким образом, биологическая информация в полном смысле еще не возникла, создалась лишь необходимая база для ее записи — единый алфавит.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление