Главная > Разное > Математическая биофизика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Стационарные ДС типа сборки

В модели типа сборки уравнения для стационарных ДС согласно; (11.17) имеют вид

Напомним, что здесь Условие Тюринга (см. гл. 8) выполняется при

Рассмотрим область резких изменений, выберем начало координат в ее центре и положим (что эквивалентно пренебрежению интегралом в (11.13)).

Исследуем антисимметричное особое решение уравнения (11.30а); оно имеет место при и равно

Это решение соответствует движению частицы единичной массы в потенциале Выражение (11.31) описывает резкое изменение величины типа ступеньки или стенки между двумя доменами (рис. 11.6). Характерный размер участков резких изменений порядка , соответственно

Рис. 11.6. Диссипативная структура ступенчатого типа в модели класса «сборка» (11.30) при

На следующем этапе рассмотрим уравнение (11.306) на расстояниях При этом переменную х выразим через у, положив

Это уравнение имеет три корня, соответствующих трем участкам: изоклины на рис. 11.7; из них первый и третий устойчивы, а средний неустойчив. Выбор корня зависит от знака выражения

Рис. 11.7. Проекция ДС ступенчатого типа (класс сборки) на плоскость х, у (жирная линия).

Так, при положительном знаке в области будет (что соответствует рис. 11.6); при этом нужно использовать корень Уравнение (11.306) принимает вид

Решения (11.32) должны удовлетворять: а) условиям существования корней, б) условию и в) условию сшивания. Последнее имеет вид

размеры «плато», где (см. рис. 11.6).

Из (11.33) следует, что ДС на участках плавных изменений уже не является антисимметричной, поскольку длины общем случае не одинаковы. Из (11.33) видно, что соотношение длин зависит от знака и величины А.

Условия существования корней ограничивают длины плавных участков сверху. Абсолютная величина у максимальна в середине участка плавных изменений и тем больше, чем он длиннее. При достаточно большой длине участка величина достигает критического значения В этой точке устойчивый корень исчезает, система теряет устойчивость и в плато образуется провал. По порядку величины Ьтлх, естественно, совпадает с характерным масштабом уравнения (11.32), т. е. Минимальные размеры «плато» в ступенчатой ДС мы оценим ниже (см. с. 237) из условия устойчивости. Таким образом, допускаются ДС с длинами «ступенек» в интервале Граничные условия на концах отрезка длиною отбирают те ДС, период которых соизмерим с

Помимо ДС ступенчатого типа в модели (11.30) возможны еще следующие режимы.

При изоклины пересекаются на одной из устойчивых ветвей функции Однородное состояние устойчиво по Тюрингу, однако, наряду с ним, существует ДС типа уединенного домена, который может быть получен путем жесткого возбуждения.

Ситуация, в которой все стационарные решения неустойчивы, в модели сборки отсутствует.

Это отличие минимальных моделей классов складки и сборки не случайно. Оно связано с тем, что в точечных системах катастрофа типа «складка» не локализуема, в то время как «сборка» локализуема (см. § 4 гл. 1).

Перечисленными свойствами, характерными для «сборки», обладают все модели, в которых изоклина Р(х, у)=0 имеет два экстремума. Таким образом, область существования ДС класса сборки в пространстве параметров не мала — она определяется условием -образной формы изоклины Р(х, у)=0.

Итак, мы рассмотрели ДС пичкового и ступенчатого типов. Отметим, что к одному "из этих двух типов принадлежат практически все ДС в известных конкретных моделях.

Подчеркнем еще одну особенность контрастных ДС, которая состоит в следующем. Строго говоря, при нейтральных граничных условиях на отрезке длиною существуют периодические ДС. Однако в случае, когда много больше периода, при весьма малых нарушениях условий сшивания возникают апериодические ДС, которые состоят из кусков ДС разного периода, «сшитых» друг с другом. Малые нарушения условий сшивания могут быть обусловлены малыми пространственными неоднородностями объекта. Таким образом, длина периода ДС оказывается «чувствительной» (можно сказать, неустойчивой) к малым возмущениям пространственной

однородности. Такие апериодические ДС можно назвать также пространственно-стохастическими, поскольку чередование периодов в них непредсказуемо. Это свойство было отмечено и исследовано в работах [4, 16].

В заключение параграфа обсудим кратко ДС в двумерном и трехмерном пространствах. Они исследовались как численно, так и аналитически в работах [3, 22, 23]. Использовались, в принципе, те же методы качественного исследования, что и в случае - одномерных ДС. Так, вблизи бифуркации Тюринга и при сравнимых коэффициентах диффузии возникают плавные ДС, которые можно исследовать методом малого параметра. При этом, однако, нужно использовать не гармоники типа как в (8.8), а собственные функции оператора Лапласа в двумерной (или трехмерной) области соответствующей конфигурации. Вдали от бифуркации Тюринга при существенно различных коэффициентах диффузии возникают контрастные структуры. Их можно исследовать, используя тот же прием, т. е. разбивая область на участки резких и плавных изменений. Основные качественные выводы, изложенные выше, остаются справедливыми и в этом случае: в зависимости от характера нелинейной части модели возникают либо «пики» автокаталитической переменной, либо образуются широкие области (домены или широкие страты [16]), отделенные резкой границей от остального пространства.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление