Главная > Разное > Математическая биофизика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Процессы установления синхронного режима

При определении полосы синхронизации мы не касались вопроса о времени установления синхронного режима во всей заданной области. Для живых объектов это очень важная проблема, так как существование каких-то определенных внешних условий недолговечно. Поэтому нужно всегда решать — что произойдет быстрее: установится ли стабильный одночастотный режим благодаря внутренней взаимной синхронизации или сам объект существенно изменится.

Рассмотрим сначала случай однородной активной системы. Пусть в подобласти наблюдаются синхронные колебания. Конечно, как быстро установится синхронизм во всей области зависит от того, каковы начальные условия в подобласти Простейший пример получается, когда на отрезке имеем при т. е. автоколебания отсутствуют. В этом случае синхронный режим будет распространяться со скоростью фронта возмущения Величина синхронной области определится расстоянием, которое пройдет фронт за время порядка одного периода колебаний Т:

Если система квазигармоническая, то согласно (9.3)

В других случаях величину скорости можно оценивать по формуле (9.9) или же по табл. 8.2. Если начальное распределение х и у на более сложно, то теоретические оценки сделать не так просто. Однако результаты машинного эксперимента (см. гл. 11 [П47]) говорят о том, что по-прежнему можно пользоваться формулами (10.28).

Оценки для можно принять за максимальный размер «объема полного внутреннего перемешивания», или части пространства, где все превращения кинетических переменных можно считать синхронными. Поэтому минимальное число разбиений распределенной АВ-системы при построении ее дискретного аналога оценивается как

В проводящей системе сердца размеры обычно порядка размеров самого сердца. Для АВ-процессов в нейронной сети (быстрые волны) , а для различных типов автоколебательных реакций совпадает по порядку с размерами определенными из линейной теории (см. табл. 8.1).

Таким образом, даже в однородных достаточно протяженных релаксационных системах переходный процесс может длиться долго. При этом внешне поведение таких систем не отличается от квазистохастического. Примером этому может служить машинный эксперимент, проведенный Яхно [14]. Если события развиваются в двумерном пространстве, то переходные процессы могут слагаться

из многих взаимодействующих ревербераторов. Это явление имеет название «химическая турбулентность»

Если пространство неоднородно, то переходные процессы еще более усложняются. В связи с этим напомним, что вне полосы синхронизации возможны режимы сложных биений, в том числе и квазистохастические (или; что то же самое, режимы странного аттрактора). В квазигармонических системах подход к квазистохастическому режиму осуществляется, как правило, путем многократного удвоения периодов [15—17]. В релаксационных системах со сложными связями между элементами также возможен квазистохастический режим (см. статью Сбитнева [18]). Естественно ожидать, что даже в пределах полосы синхронизации, но близко к ее краю, упомянутые явления проявляют себя в виде сложного и длительного переходного режима, похожего на квазистохастический (см. также [19]).

В биологических объектах, которые непрерывно изменяются и имеют конечное «время жизни», длительный и сложный переходный процесс и режим «истинно» квазистохастический практически не различимы. В целом такие режимы как антиподы синхронизации играют важную роль при описании фибрилляций в сердце, процессов в нервных сетях и многих других явлений.

Время установления синхронного режима в неоднородном пространстве или в его дискретном аналоге (см. уравнения (10.1), (10.2)), вообще говоря, определяется не только скоростью распространения фронта установления автоколебательного режима и начальными фазами, но и распределением парциальных частот вдоль цепочки генераторов. Рассмотрим простейший пример двух связанных квазигармонических генераторов с одинаковыми амплитудами автоколебаний и парциальными частотами (для определенности, положим, что расстройка Из системы (10.6) легко получить уравнение, описывающее установление разности фаз между этими генераторами:

Здесь полоса синхронизации (см. формулу (10.21)). Стационарная разность фаз в этом случае равна

Уравнение (10.30) имеет квадратуру. Однако для наших оценок достаточно проанализировать его решение в линеаризованном варианте. Пусть отклонение от стационарной разности фаз:

Тогда приближенно можно считать, что

Следовательно,

и время установления синхронного режима равно

При а при Если автоколебательная система релаксационна, то для времени установления при по-прежнему можно пользоваться выражением т. е. согласно (10.24)

где коэффициент К определяется формой релаксационных автоколебаний. Из формулы (10.35) следует: а) когда имеется связь по медленной переменной то туст в релаксационном режиме в раз меньше, чем в гармоническом при том же коэффициенте связи если связь осуществляется лишь по быстрой переменной, туст увеличивается пропорционально отношению

Следовательно, связь по медленной переменной стабилизирует синхронный режим, а связь по быстрой переменной мало что добавляет к его стабилизации.

Пусть, например, исследуется взаимная синхронизация двух живых клеток, в которых идут гликолитические автоколебания с малой расстройкой парциальных частот. Пусть см. табл. 8.1), отношение следовательно, т. е. колебания релаксационные. Пусть, далее, и полоса синхронизации Гц, а Тогда согласно формуле мин, т. е. синхронизм устанавливается за несколько периодов колебаний. Если же связь по медленной переменной отсутствует то При значительных расстройках время туст может быть много больше. Так как в живых системах процессы нестационарны, параметры меняются во времени, всегда присутствующие шумы могут сбить синхронный режим, то устойчивые синхронные колебания могут наблюдаться лишь при значительных коэффициентах связи, во всех других случаях в распределенных живых системах должны существовать сложные АВ-процессы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление