§ 4. Проблема биологической инерционности
Физиологическая инерционность живой клетки проявляется наиболее заметным образом в начальной фазе культивирования, когда клетки «привыкают» к новым условиям существования — по большей части, к новому виду или концентрации питательной среды. При непроточном выращивании микроорганизмов проходит известное время (лаг-период), прежде чем начинается интенсивное размножение клеток и скорость роста достигает максимального значения. Причины этой задержки могут быть разными (см.
но главные из них связаны с инерционностью в изменении внутриклеточных концентраций веществ, необходимых для переработки данного субстрата: белков-энзимов, соответствующих им информационных РНК и, наконец, рибосомальной РНК.
Простейшая модель инерционности клетки может быть записана в виде дополнительного дифференциального уравнения для скорости роста (см. [41, 421):
где
время установления стационарного значения
При этом можно предположить различные причины возникновения инерционности: синтез новых ферментов, информационной РНК или рибосом. Оценки, приведенные нами в [411, показывают, что самый медленный процесс — синтез рибосом (см. также [43]).
Отметим, что в работе [44] говорится о некоторой абстрактной «промежуточной субстанции», синтез которой определяет наиболее медленноезвено («бутылочное горлышко») процессов роста. Тем не менее, нам удобнее оперировать с конкретным механизмом синтеза
рибосом, чтобы иметь возможность проводить некоторые численные оценки.
В ряде экспериментов, выполненных Малё с соавторами [45], и независимо в лаборатории Иерусалимского [46, 47], изучалась зависимость между процентным содержанием рибосомальной РНК в клетке
и удельной скоростью роста биомассы Дрежде всего, было показано, что при переносе культуры на более богатую среду соответствующее повышение скорости роста может произойти не раньше, чем возрастет процентное содержание рибосомальной РНК в клетке. Возрастание же
происходит достаточно медленно (рис. 3.16), а именно, за время, сравнимое с временем репродукции клеток (см. также
Рис. 3.16. Изменение содержания нуклеиновых кислот (РНК/белок) в клетках Аs. vinelandii с увеличением скорости роста от
до
Рис. 3.17. Процентное содержание РНК в биомассе
при различных скоростях роста. 1 — общее количество РНК в биомассе, 2 — рибосомальиая РНК, 3 - растворимая
Зависимость установившегося значения
от скорости роста
оказалась линейной (рис. 3.17) и может быть выражена соотношением
На основании этих экспериментальных данных можно представить процесс установления концентрации рибосом в виде дифференциального уравнения первого порядка:
Величина
характеризующая время установления стационарной концентрации
зависит от скорости роста биомассы
Действительно, второй член в правой части уравнения (3.37) описывает убыль относительного числа рибосом, а так как рибосомы в клетках заметным образом не распадаются, то уменьшение
может осуществляться, в основном, из-за прироста биомассы. Поэтому положим
тогда уравнение для изменения концентрации
будет иметь вид
Уравнения (3.36) и (3.38) могут быть использованы и при описании проточного культивирования микроорганизмов. Физиологическая инерционность клеток в этом случае должна вызывать запаздывание в установлении нового стационарного значения скорости роста при изменении внешних условий культивирования — скорости протока
или входной концентрации питательного субстрата. В принципе, подобная инерционность может вызвать появление колебательных режимов в процессе установления. На наличие таких колебаний при определенных условиях указывает ряд экспериментальных данных (см., например, [48, 49, 51]).
Подробное исследование возможности появления колебательных свойств у проточных культур, обладающих биологической инерционностью, было проведено нами совместно с
Иерусалимским на основании гипотезы о процессе синтеза рибосом как наиболее инерционном звене [43].
Система уравнений, описывающая рост биомассы в проточном культиваторе и учитывающая процесс синтеза рибосом, имеет вид
где параметры
имеют тот же смысл, что и выше (см. § 3).
Зависимость текущего значения скорости роста
от процентного содержания рибосом в клетке в тот же момент времени
и концентрации субстрата
была найдена на основании следующих соображений. Предполагается, что синтез белка
из аминокислот А на рибосомах
можно описать кинетическим уравнением
где
свободная
(суммарное количество рибосомальной РНК будет
Тогда в квазистационарном приближении для скорости синтеза белка будет справедливо выражение
С другой стороны, учитывается, что белок составляет постоянную часть от биомассы:
а пул свободных аминокислот при сбалансированном росте пропорционален концентрации субстрата:
Тогда, введя величину
-долю рибосомальной РНК в биомассе
из (3.40) получим для прироста биомассы:
Отсюда удельную скорость роста можно записать в виде
где
максимальное значение скорости роста при
Чтобы замкнуть систему уравнений (3.39), (3.41), надо еще определить зависимость стационарного значения
входящего в последнее уравнение системы (3.39), от концентрации субстрата
Используем эмпирическую формулу (3.36) и получим
Найдем также зависимость
Обозначив
мы придем к известной формуле Моно для установившегося значения скорости роста (см. (3.8)). Таким образом, гипотетическая константа насыщения
может быть легко определена из опытных данных
Введем теперь безразмерные переменные и коэффициенты по формулам (3.17),
Параметр
очевидно, может принимать значения
так как
Из данных
рис. 3.17 можно найти значение
(большая ошибка в определении
связана с малым числом экспериментальных точек на прямой
Запишем окончательно систему третьего порядка, описывающую рост биомассы в проточном культиваторе с учетом инерционности:
Система (3-44) имеет две точки равновесия:
Относительно первой точки надо отметить, что отличное от нуля стационарное значение
при
означает, что непосредственно перед вымыванием, когда концентрация субстрата почти равна максимальному значению
концентрация рибосом в клетке достигает максимального возможного при данной входной концентрации субстрата уровня
(при этом очевидно, что
Исследование устойчивости точки 2 проведено подробно в [43], где было получено, что в некоторой области изменения параметров могут происходить затухающие колебания при установлении стационарного состояния, т. е. особая точка является устойчивым фокусом. Можно оценить добротность системы
(отношение собственной частоты к декременту затухания); зависимость
от скорости протока
при разных значениях параметра
приведена на рис. 3.18. Из рисунка видно, что колебания с малым декрементом возможны лишь в предельном случае
который в данной постановке задачи бессмыслен, так как концентрация рибосомальной РНК не может быть равной нулю даже при
Отсюда, по-видимому, можно сделать вывод, что наблюдаемые иногда слабо затухающие колебания [48] не могут быть связаны с
синтезом рибосом, а должны иметь другую природу. Тем не менее, эти колебания могут описываться системой, аналогичной (3.44), с параметром
Ближе всего к изложенной выше теории примыкает уже упоминавшаяся модель 144], которая содержит уравнение, описывающее скорость синтеза некоторой промежуточной субстанции; при этом учтено субстратное ингибирование роста при больших S. Авторы не приводили аналитического исследования своей системы, численные же расчеты показали наличие сильно затухающих колебаний.
Существует также ряд работ, в которых постулируются механизмы возникновения колебаний, не связанных с инерционностью. В монографии Бергтера
приводится модель, учитывающая высокий порядок угнетения скорости роста клеток продуктами метаболизма. В этом случае автор получает затухающие колебания в процессе] установления стационарного состояния.
Отметим здесь также ставшую уже классической работу Рамкришны с соавторами [50], где моделируется процесс выработки активными клетками некоторого ингибитора, который вызывает переход клеток в неактивное состояние (при этом количество ингибитора возрастает). В этой модели были получены затухающие колебания концентрации клеток в нестационарных условиях. В этой же работе, кроме того, рассматривались в качестве динамических переменных два компонента биомассы — нуклеиновые кислоты и белки. Сложные взаимодействия переменных позволили получить в модели как затухающие, так и незатухающие колебания.
Заметим в заключение, что достаточно простая модель автоколебаний в проточной культуре микроорганизмов может быть построена в предположении возрастной неоднородности популяции. Эта модель будет изложена в следующей главе (см. § 1).
Рис. 3.18. Добротность системы с инерционностью:
.