Главная > Математика > Компактные группы Ли и их представления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 25. Формулировка глобальной теоремы

Для компактной группы Ли удается в принципе решить все основные проблемы, связанные с теорией представлений. Окончательный результат мы сформулируем в виде перечня законов, называемого здесь «глобальной теоремой».

Теорема 1 (глобальная теорема). Если компактная группа Ли, то она обладает следующими свойствами:

1. G имеет точное линейное представление.

2. Все неприводимые представления группы G имеют конечную размерность и содержатся в классе тензоров (над тем линейным пространством, где G имеет точное представление).

3. Все конечномерные представления группы G эквивалентны унитарным и обладают свойством полной приводимости.

4. Число неприводимых представлений группы G (определяемых с точностью до эквивалентности) конечно или счетно, причем конечно только в случае, когда группа G конечна.

5. Всякая непрерывная функция на группе G может быть равномерно, с любой степенью точности, аппроксимирована линейными комбинациями матричных элементов

где индекс I означает нумерацию всевозможных неприводимых представлений, а индексы обычные матричные индексы относительно произвольного базиса.

6. Если матрица записана в базисе, относительно которого она унитарна, то система матричных элементов представляет собой полную ортогональную систему в гильбертовом пространстве Все элементы при фиксированном I имеют одинаковую норму, равную где размерность представления

1. Если функция содержится в то ее ряд Фурье

где сходится к этой функции в среднем квадратичном.

Замечание. В действительности мы увидим (добавление I, § 2), что ряд Фурье сходится равномерно, если функция достаточное число раз дифференцируема (по параметрам группы и тем быстрее, чем выше степень гладкости функции

Напомним, что символ использованный в формулировке теоремы, означает скалярное произведение двух произвольных функций из Н:

Ортогональность понимается также по отношению к этому скалярному произведению. В § 32 мы опишем также переход к произвольному однородному пространству с группой движений G.

Доказательство теоремы будет разбито на несколько частей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление