ГЛАВА IV. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

В настоящей главе мы вводим основные объекты, изучаемые в этой книге, — компактные группы Ли. Применение специального метода «усреднения» позволяет для данного класса групп получить замечательное обобщение теории классических рядов Фурье. Получаемая теория имеет дело с «элементарными гармониками», т. е. неприводимыми представлениями группы и содержит в себе основную информацию о строении этих представлений.

§ 24. Определение компактной группы

В абстрактной топологии важную роль играет различие между компактными и некомпактными множествами. Множество К в метрическом пространстве называется компактным, если оно замкнуто и может быть покрыто конечным числом шаров радиуса при сколь угодно малом По образному выражению Г. Вейля, все «жители» области К находятся под охраной конечного числа «милиционеров» (центры шаров) при условии, что каждый милиционер имеет радиус действия Оказывается, что условие компактности равносильно выполнению любого из следующих двух утверждений, которые лежат в основе многих результатов классического анализа.

Лемма Больцано — Вейерштрасса. Из всякого бесконечного подмножества множества можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся в .

Лемма Гейне — Бореля. Из всякого бесконечного покрытия множества К системой открытых множеств можно выбрать конечное подпокрытие.

Поскольку эти утверждения не опираются на понятие метрики, они используются для определения компактности в топологических пространствах, более общих, чем метрические. Наконец, как легко видеть, если множество К расположено в евклидовом пространстве (с обычной топологией), то требование компактности равносильно замкнутости и ограниченности множества К.

Топологическая группа G называется компактной, если она компактна как топологическое пространство. Примеры:

1. Ортогональная группа в вещественном пространстве компактна. Действительно, элементы выделяются среди -мерных матриц условием

которое равносильно ортогональности репера, соответствующего матрице Следовательно,

и группа является подмножеством на сфере радиуса в евклидовом пространстве размерности Следовательно, множество ограничено и, кроме того, оно замкнуто, поскольку условие сохраняется при предельном переходе.

2. Унитарная группа компактна. Доказательство аналогично предыдущему, с заменой прежнего условия условием для матрицы Впрочем, (замена комплексных координат вещественными) и

3. Группы при некомпактны. Действительно, все эти группы наряду с обычными поворотами содержат также систему гиперболических поворотов вида

которые действуют в двумерных плоскостях. Поскольку такая подгруппа гомеоморфна неограниченной

мой, то и каждая из данных групп неограничена как множество.

Топологическое пространство называется локально компактным, если каждая его точка обладает окрестностью с компактным замыканием. Соответственно вводится понятие локально компактной группы. Очевидно, для локальной компактности группы достаточно, в силу принципа однородности, существования окрестности с компактным замыканием хотя бы для точки

Если ограничиться классом групп Ли, то в силу их локальной евклидовости они всегда локально компактны.

Наконец, если группа не компактна и даже не локально компактна, то она может быть названа существенно некомпактной. Группа унитарных операторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве является примером такой группы.

Одним из основных результатов теории групп является установление принципиального различия между представлениями компактных и некомпактных групп Ли. В частности, мы увидим, что гармонический анализ на компактной группе Ли сводится к рядам, в то время как на локально компактной группе Ли — к обобщенным интегралам Фурье. В основе этого различия лежит следующее очевидное свойство:

1°. Всякая компактная группа Ли имеет конечный объем (относительно меры Хаара).

Мы предоставляем читателю детальное доказательство этого утверждения. Отметим еще одно свойство меры Хаара, которое является следствием свойства 1°:

2°. На компактной группе Ли всякая мера Хаара является двусторонне инвариантной и инвариантной по отношению к инверсии.

Действительно, если левоинвариантная мера Хаара, то мера снова является левоинвариантной и поэтому в силу принципа единственности отличается

от лишь умножением на константу:

(константа с зависит от Интегрируя обе части этого равенства по группе заметим, что точка пробегает (при фиксированном также всю группу откуда ясно, что где V — конечный объем группы G. Следовательно,

но это и означает, что мера является правоинвариантной. Далее, мера снова является инвариантной, откуда где константа, и прежний прием позволяет заключить, что

Двусторонне инвариантную меру Хаара на группе G мы условимся ради краткости обозначать просто символом Условие

выделяет гильбертово пространство числовых функций на группе которое принято обозначать Если группа G компактна, то для меры Хаара мы будем использовать нормировку

которая означает, что полный объем всей группы полагается равным единице.