ГЛАВА IV. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
В настоящей главе мы вводим основные объекты, изучаемые в этой книге, — компактные группы Ли. Применение специального метода «усреднения» позволяет для данного класса групп получить замечательное обобщение теории классических рядов Фурье. Получаемая теория имеет дело с «элементарными гармониками», т. е. неприводимыми представлениями группы
и содержит в себе основную информацию о строении этих представлений.
§ 24. Определение компактной группы
В абстрактной топологии важную роль играет различие между компактными и некомпактными множествами. Множество К в метрическом пространстве называется компактным, если оно замкнуто и может быть покрыто конечным числом шаров радиуса
при сколь угодно малом
По образному выражению Г. Вейля, все «жители» области К находятся под охраной конечного числа «милиционеров» (центры шаров) при условии, что каждый милиционер имеет радиус действия
Оказывается, что условие компактности равносильно выполнению любого из следующих двух утверждений, которые лежат в основе многих результатов классического анализа.
Лемма Больцано — Вейерштрасса. Из всякого бесконечного подмножества множества
можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся в
.
Лемма Гейне — Бореля. Из всякого бесконечного покрытия множества К системой открытых множеств можно выбрать конечное подпокрытие.
Поскольку эти утверждения не опираются на понятие метрики, они используются для определения компактности в топологических пространствах, более общих, чем метрические. Наконец, как легко видеть, если множество К расположено в евклидовом пространстве (с обычной топологией), то требование компактности равносильно замкнутости и ограниченности множества К.
Топологическая группа G называется компактной, если она компактна как топологическое пространство. Примеры:
1. Ортогональная группа
в вещественном пространстве компактна. Действительно, элементы
выделяются среди
-мерных матриц условием
которое равносильно ортогональности репера, соответствующего матрице
Следовательно,
и группа
является подмножеством на сфере радиуса
в евклидовом пространстве размерности
Следовательно, множество
ограничено и, кроме того, оно замкнуто, поскольку условие
сохраняется при предельном переходе.
2. Унитарная группа
компактна. Доказательство аналогично предыдущему, с заменой прежнего условия условием
для матрицы
Впрочем,
(замена комплексных координат вещественными) и
3. Группы
при
некомпактны. Действительно, все эти группы наряду с обычными поворотами содержат также систему гиперболических поворотов вида
которые действуют в двумерных плоскостях. Поскольку такая подгруппа
гомеоморфна неограниченной
мой, то и каждая из данных групп неограничена как множество.
Топологическое пространство называется локально компактным, если каждая его точка обладает окрестностью с компактным замыканием. Соответственно вводится понятие локально компактной группы. Очевидно, для локальной компактности группы достаточно, в силу принципа однородности, существования окрестности с компактным замыканием хотя бы для точки
Если ограничиться классом групп Ли, то в силу их локальной евклидовости они всегда локально компактны.
Наконец, если группа не компактна и даже не локально компактна, то она может быть названа существенно некомпактной. Группа унитарных операторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве является примером такой группы.
Одним из основных результатов теории групп является установление принципиального различия между представлениями компактных и некомпактных групп Ли. В частности, мы увидим, что гармонический анализ на компактной группе Ли сводится к рядам, в то время как на локально компактной группе Ли — к обобщенным интегралам Фурье. В основе этого различия лежит следующее очевидное свойство:
1°. Всякая компактная группа Ли имеет конечный объем (относительно меры Хаара).
Мы предоставляем читателю детальное доказательство этого утверждения. Отметим еще одно свойство меры Хаара, которое является следствием свойства 1°:
2°. На компактной группе Ли всякая мера Хаара является двусторонне инвариантной и инвариантной по отношению к инверсии.
Действительно, если
левоинвариантная мера Хаара, то мера
снова является левоинвариантной и поэтому в силу принципа единственности отличается
от
лишь умножением на константу:
(константа с зависит от
Интегрируя обе части этого равенства по группе
заметим, что точка
пробегает (при фиксированном
также всю группу
откуда ясно, что
где V — конечный объем группы G. Следовательно,
но это и означает, что мера
является правоинвариантной. Далее, мера
снова является инвариантной, откуда
где
константа, и прежний прием позволяет заключить, что
Двусторонне инвариантную меру Хаара на группе G мы условимся ради краткости обозначать просто символом
Условие
выделяет гильбертово пространство числовых функций на группе
которое принято обозначать
Если группа G компактна, то для меры Хаара мы будем использовать нормировку
которая означает, что полный объем всей группы полагается равным единице.