Главная > Математика > Компактные группы Ли и их представления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 23. Формулировка основных задач

Из вышесказанного можно заключить, что основная задача теории представлений состоит в их «спектральном анализе», т. е. в разложении произвольных представлений на неприводимые. Однако в действительности эта задача обладает более разнообразными аспектами. Прежде всего, выделяются следующие самостоятельные задачи:

1. Описать все неприводимые представления (с точностью до эквивалентности) данной группы G.

2. Выяснить вопрос о возможности полной приводимости (в том или ином классе групп и их представлений)

3. Описать (если они существуют) представления приводимые, но неразложимые, т. е. неразложимые в прямую сумму хотя бы двух представлений.

Далее, если ограничиться более простым классом вполне приводимых представлений, то естественно ожидать, что они разлагаются (в конечную сумму или абстрактный интеграл) по неприводимым представлениям. Это действительно так в конечномерном или унитарном случае. Изучение вполне приводимых представлений сводится при этом к спектральному анализу и изучению

отдельных неприводимых компонент. Здесь в свою очередь особо выделяются следующие задачи:

4. Разложение регулярного представления группы G.

5. Сужение неприводимых представлений с группы на подгруппу (дано неприводимое представление группы вполне приводимое относительно погруппы требуется разложить его на неприводимые по отношению к

6. Описание алгебры неприводимых представлений по отношению к тензорному произведению.

В действительности некоторые из этих задач взаимосвязаны. В частности, поскольку регулярное представление является, как мы знаем, «вместилищем» всех неприводимых представлений группы G (§ 18), спектральный анализ этого представления может явиться источником для решения задачи 1. Далее, если перейти к проблеме классификации функций на однородном многообразии, то возникают следующие вопросы:

7. Аппроксимация функций на группе G и многообразии X «элементарными гармониками» группы G. Описание специальных функций, связанных с этими гармониками.

8. Вопросы комплексификации (группы Ли, ее представлений, однородных многообразий).

9. Симметрия уравнений, в частности дифференциальных и интегральных, по отношению к группам и алгебрам Ли. Аналоги операторов Лапласа для группы Ли.

Специально отметим также следующую классическую задачу:

10. Разложение произвольных тензоров по отношению к данной линейной группе G.

Гармонический анализ на группе тесно связан с изучением групповых алгебр относительно свертки на группе G. Особый интерес представляет изучение «двойственности» между группой G и множеством составленным из элементарных гармоник на G. Если коммутативная группа, то между существует своеобразная симметрия, которая проявляется, в частности, в аналогии между прямым и обратным преобразованиями Фурье, В общем случае ситуация является значительно более сложной. Возникает задача.

11. Изучение групповых алгебр относительно свертки на группе G. Построение общей теории двойственности

Заметим, что решение последней задачи, несомненно, открыло бы ряд новых закономерностей в теории представлений. Наконец, в общей теории групп важное значение имеет следующая задача;

12. Выяснить, допускает ли данная абстрактная группа G точное линейное представление, т. е. возможна ли ее изоморфная реализация в виде группы матриц.

В настоящее время известно (см., например, §§ 31, 104), что для «большого числа» важных классов групп Ли проблема 12 решена положительно. Пример отрицательного решения приводится на стр. 469.

Более точная постановка и решение некоторых задач для отдельных классов групп будут изложены в этой книге.

Доказанные в этой главе фундаментальные результаты теории конечномерных представлений (лемма Шура, теорема Бернсайда) сохраняют свой вид над произвольным алгебраически замкнутым полем (заметим, что при доказательстве леммы Шура использовалось существование корней векового уравнения но требуют иной формулировки в общем случае, найти которую можно, например, в книге Г. Вейля [10].

После того как эти результаты получены, можно наиболее просто построить теорию представлений для произвольных конечных групп. Однако в следующей главе мы сразу перейдем к рассмотрению значительно более широкого класса групп, так называемых компактных групп Ли, изучение которых и является основным предметом этой книги.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление