Главная > Математика > Компактные группы Ли и их представления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ДОБАВЛЕНИЕ III. УНИТАРНАЯ СИММЕТРИЯ В КЛАССЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

Мы уже упоминали во введении, что методы теории линейных представлений групп Ли позволили в последнее время получить значительные успехи в некоторых разделах теоретической физики, главным образом в вопросах классификации элементарных частиц. Целью этого добавления является вкратце проследить основные этапы логического развития идей, приведших к упомянутым результатам.

§ 1. Инвариантность и законы сохранения

Напомним вначале основные постулаты квантовой механики, которые в известной степени сохраняются также и в квантовой теории поля.

1. Волновая функция. Согласно основным положениям нерелятивистской квантовой механики эволюция всякой физической системы во времени определяется уравнением Шредингера где оператор энергии (гамильтониан, массовый оператор). Здесь является элементом некоторого гильбертова пространства называемого пространством состояний. Вся информация о физической системе содержится в векторе который называется вектором состояния или волновой функцией. Важнейшую роль в теории играют квадратичные формы вида где -линейный оператор в Обычно рассматриваются только эрмитовы операторы, которые соотносятся той или иной физической величине (импульс, координата, момент импульса, энергия, заряд). Выражение означает при этом среднее значение физической величины в состоянии

Обычно используется та или иная функциональная реализация пространства II. Всякая такая реализация связана с выбором некоторой системы коммутирующих эрмитовых операторов которые «диагонализуются» в общем базисе в смысле § 1 добавления II. Иначе говоря, пространство реализуется в виде пространства вектор-функций квадратично интегрируемых относительно некоторой меры причем

операторы действуют по формуле В качестве таких операторов иногда выбирают операторы координат, которые характеризуют пространственное положение отдельных частиц системы. В этом случае, если оператор умножения на характеристическую функцию некоторой области -мерного пространства векторов х, то форма определяет вероятность локализации системы в области

Особую роль играют состояния с фиксированной энергией Для таких состояний Точно так же, если вектор является собственным относительно некоторого эрмитова оператора состоянию соответствует определенное значение физической величины А.

2. Законы сохранения. Предположим, что оператор А перестановочен с гамильтонианом. Тогда соотношение не нарушается при эволюции вектора во времени. Действительно, где значение при в предположении, что не зависит от времени (впрочем, это предположение несущественно). Следовательно, физическая величина А является в этом случае интегралом движения. Иначе говоря, значение этой величины сохраняется со временем.

Законы сохранения играют в квантовой механике, пожалуй, еще большую роль, чем в механике классической. Действительно, они порождают «правила запрета», согласно которым система не может переходить из состояния состояние при Таков закон сохранения энергии (действительно, коммутирует с закон сохранения полного момента импульса (в некоторых случаях спина), закон сохранения заряда, четности и т. д.

Поскольку законы сохранения связаны, как мы видим, с инвариантностью уравнения Шредингера относительно той или иной системы операторов, то естественно возникают алгебры и группы таких операторов (см. § 19), оставляющих это уравнение инвариантным. Здесь физики невольно сталкиваются с тем фактом, что структурные законы данной алгебры или группы играют существенную роль в классификации решений волнового уравнения.

3. Аддитивные квантовые числа. Если имеются две физические системы с состояниями то смешанная система определяется тензорным произведением векторов Физическая величина называется аддитивной, если ее значение в смешанной системе равняется сумме значений в состояниях Используя произвол в выборе физической величины (состоящий в том, что вместо А можно рассматривать некоторые функции физики обычно стараются выявить аддитивные величины, как наиболее простые. Такими величинами являются, например, энергия и заряд. Однако полный момент импульса связанный с законами инвариантности относительно группы вращений не является

аддитивным. Его сложение подчиняется закону спектра старших весов при тензорном умножении неприводимых представлений сложение приводит к возможным значениям вида См., например, [31].

Здесь мы сталкиваемся с приложением в теоретической физике понятия тензорного произведения двух представлений некоторой группы G (например, группы вращений). Если волновые функции преобразуются соответственно по неприводимым представлениям этой группы, то тензорное произведение преобразуется по правилу а правая часть означает прямую сумму неприводимых представлений. Это означает, что смешанная система может с той или иной вероятностью находиться в состояниях преобразующихся согласно Соответствующие вероятности по определенному правилу вычисляются с помощью коэффициентов Клебша — Гордана. Таким образом, групповая структура здесь играет существенную роль.

Если физическая величина А является аддитивной, то ее собственные значения называются обычно аддитивными квантовыми числами.

4. Нарушение симметрии. Существенно отметить, что всякая симметрия в квантовой механике, как правило, является приближенной либо выполняется только в идеальных условиях. Так, симметрия относительно группы возможна лишь в центрально-симметричном силовом поле. Пространственная симметрия молекул идеального газа возможна только при отсутствии силового поля. Наложение продольного магнитного поля изменяет форму гамильтониана и нарушает эту симметрию (сохраняя лишь симметрию поворота относительно выделенной оси).

Остановимся на последнем примере несколько подробнее. В отсутствие поля состояния молекулы газа могут характеризоваться неприводимым представлением группы со старшим весом Всего, как мы знаем, имеется таких состояний. Все эти состояния отвечают одному и тому же собственному значению оператора который в данном случае совпадает с оператором Казимира группы Поскольку оператор является оператором массы-энергии, то это означает также, что все состояний имеют один и тот же энергетический уровень (одну и ту же массу). Физики говорят в этом случае о «вырождении» (т. е. о кратности) собственного значения. Наложение магнитного поля приводит к тому, что все состояний уже становятся существенно различными. В частности, они находятся на разных энергетических уровнях. (Физики говорят в подобных случаях о «снятии вырождения».)

Описанный эффект известен иод названием эффекта Зеемана и допускает наглядную иллюстрацию (расщепление спектральных линий в магнитном поле).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление